Вернуться на страницу <Методические разработки>
В начало | Л.р.1 | Л.р.3 | Л.р.4 | Л.р.5 | Л.р.6 | Л.р.7 | Л.р.8

| Л.р.9 | Л.р.10 | Л.р.11 | Л.р.12 | Л.р.13 | Л.р.14 | Л.р.15

Лабораторная работа 2
Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема сложения ~ Теорема умножения ~ Формула полной вероятности

Теорема сложения. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей без вероятности их совместного наступления:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Если события A и B несовместны, то

P(A+B)=P(A)+P(B).

При решении задач часто вычисляют вероятность противоположного события !A, а затем находят вероятность прямого события A по формуле

P(A)=1-P(!A)

Теорема умножения. Вероятность совместного наступления двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при условии, что первое событие наступило:

P(AB)=P(A) P(B|A).

Если события A и B независимы (т.е. появление одного из них не меняет вероятность появления другого), то P(AB)=P(A) P(B).

Для нахождения вероятности суммы независимых событий ,..., выгодно переходить к противоположным событиям:

P( +...+ )=1-P(! )...P(! )

Формула полной вероятности. Пусть А- произвольное событие, события , ,..., попарно несовместны, , k=1,..., n, и A принадлежит сумме +...+ . Тогда имеет место следующая формула: P(A| ).

Задача 1 . Элементы ,..., случайным образом переставляются (все n! перестановок равновероятны). Какова вероятность того, что хотя бы один элемент окажется на своем месте? Найти .

Решение. Очевидно, что вероятность того, что элемент не на своем месте, равна . Тогда искомая вероятность

> P[n]:=1-((n-1)/n)^n;

Найдем :

> P:=limit(P[n],n=infinity);

.

(См. задачи в Чистяков В. П. Курс теории вероятностей: Учеб.-3-е изд., испр.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.- 1987.)

Задача 2 . В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом ящике 10 белых и 5 красных шаров. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут один белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

Задача 3 . Бросается монета до первого появления "герба". Описать пространство элементарных событий. Найти вероятность того, что потребуется четное число бросков.

Задача 4 . Общество из n человек садится за круглый стол. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом.

Задача 5 . Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным 2, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Задача 6 . Электрическая цепь составлена из элементов , k=1, 2, 3 (элементы и соединены параллельно, а присоединен к ним последовательно. При выходе из строя любого элемента цепь в месте его включения разрывается. Вероятность выхода из строя за данный период элемента равна , k=1, 2, 3. Предполагается, что элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что за рассматриваемый период по цепи будет проходить ток.

Задача 7 . Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин - дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность, что это мужчина? (Считать, что количество мужчин и женщин одинаково.)

Задача 8 . По каналу связи может быть передана одна из трех последовательностей букв АААА, ВВВВ, СССС; известно, что вероятности каждой из последовательностей равны соответственно 0.3, 0.4, 0.3. В результате шумов буква принимается правильно с вероятностью 0.6. Вероятности приема переданой буквы за две другие равны 0.2 и 0.2. Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что передано АААА, если на приемном устройстве получено АВСА.

В начало | Л.р.1 | Л.р.3 | Л.р.4 | Л.р.5 | Л.р.6 | Л.р.7 | Л.р.8

| Л.р.9 | Л.р.10 | Л.р.11 | Л.р.12 | Л.р.13 | Л.р.14 | Л.р.15
Вернуться на страницу <Методические разработки>