Вернуться на страницу <Методические разработки>
В начало | Л.р.1 | Л.р.2 | Л.р.3 | Л.р.4 | Л.р.5 | Л.р.6 | Л.р.7

| Л.р.8 | Л.р.10 | Л.р.11 | Л.р.12 | Л.р.13 | Л.р.14 | Л.р.15

Лабораторная работа 9
Двумерные случайные величины

Пусть на вероятностном пространстве ( W , U, P) заданы случайные величины x = x(w) , h = h(w) , w принадлежит W . Совместной функцией распределения величин x , h (или случайного вектора ( x , h )) называется вероятность , рассматриваемая как функция точки (x, y). Имеет место формула

P( < , < )= -  - + .

(См. задачи в Чистяков В. П. Курс теории вероятностей: Учеб. - 3-е изд., испр. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.- 1987)

Задача 1 . По мишени производится один выстрел. Вероятность попадания равна p. Рассматриваются две случайные величины : x - число попаданий, h -число промахов. Построить функцию распределения F(x, y) двумерной случайной величины ( x , h ).

Решение. Очевидно, что , , , . Тогда функция распределения F(x, y) двумерной случайной величины ( x , h ) задается формулой

> F(x,y):= piecewise(x<0 or y<0,0,x>0 and x<=1 and y>0 and y<=1,0,x>0 and x<=1 and y>1,1-p,x>1 and y>0 and y<=1,p,x>1 and y>1,1);

Задача 2 Двумерная случайная величина ( x , h ) имеет плотность вероятности . Найти:

а) величину А;

б) функцию распределения F(x, y);

в) вероятность попадания случайной точки ( x , h ) в квадрат [0, 1]*[0, 1].

Решение. а) Очевидно, что интеграл по всей плоскости от f(x, y) должен равняться 1. Отсюда можем найти А:

> f:=(x,y)->A/(Pi^2*(3+x^2)*(1+y^2));

> S:=int(int(f(x,y),y=-infinity..infinity),x=-infinity..infinity);

> A:=solve(S-1,A);

б) Определим функцию вероятности F(x, y):

> F:=(x,y)->int(int(f(t,v),v=-infinity..y),t=-infinity..x);

в) Найдем вероятность попадания случайной величины в указанный квадрат

> P:=F(1,1)-F(0,1)-F(1,0)+F(0,0);

Задача 3. Задано совместное распределение случайных величин x и : , , , , , . Найти:

a) одномерные законы распределения случайных величин x , h ;

б) закон распределения ;

в) закон распределения ;

г) .

Задача 4 . Машина состоит из 10000 деталей. Каждая деталь независимо от других оказывается неисправной с вероятностью , причем для деталей ; для деталей и для деталей . Машина не работает, если в ней неисправны хотя бы две детали. Найти приближенное значение вероятности того, что машина работать не будет. (Воспользоваться теоремой Пуассона).

В начало | Л.р.1 | Л.р.2 | Л.р.3 | Л.р.4 | Л.р.5 | Л.р.6 | Л.р.7

| Л.р.8 |  Л.р.10 | Л.р.11 | Л.р.12 | Л.р.13 | Л.р.14 | Л.р.15
Вернуться на страницу <Методические разработки>