Вернуться на страницу <Методические разработки>
В начало | Л.р.2 | Л.р.3 | Л.р.4 | Л.р.5 | Л.р.6 | Л.р.7 | Л.р.8

| Л.р.9 | Л.р.10 | Л.р.11 | Л.р.12 | Л.р.13 | Л.р.14 | Л.р.15

Лабораторная работа 1
Элементы комбинаторики. Вероятность

Алгебра событий ~ Перестановки ~ Размещения ~ Слагаемые целого ~ Биномиальные коэффициенты ~ Факториалы и гамма-функция

Алгебра событий

Произвольное множество назовем пространством элементарных событий.

Любое подмножество пространства элементарных событий назовем случайным событием. Класс подмножеств U пространства элементарных событий называется алгеброй событий, если U замкнуто относительно операций взятия суммы (объединения), разности, произведения (пересечения) случайных событий из U, U содержит пустое множество и само пространство элементарных событий . Для пространства из конечного числа элементарных событий под вероятностью случайного события A будем понимать отношение числа элементарных событий, принадлежащих А, к общему числу элементарных событий в .

Зададим пространство элементарных событий

> Omega:=[a,b,c,d];

Для построения алгебры событий U нам потребуется команда choose из библиотеки combinat

> ### WARNING: combinat[choose] with numeric first parameter now returns a sorted list rather than a set
U:=combinat[choose](Omega);

Вычислим количество n элементов в алгебре событий U

> n:=combinat[numbcomb](Omega);

Выполнение команды

> n:='n':

выгружает из памяти значение n (см. также команды forget, restart).

Задача 1 . Постройте пространство элементарных событий и алгебру событий:

а) для опыта с бросанием монеты один раз;

б) для опыта с бросанием игральной кости один раз;

в) для опыта с бросанием двух монет один раз;

г) для опыта с бросанием монеты два раза.

Перестановки

Получим всевозможные перестановки из 4 элементов:

> P:=combinat[permute](4);

Найдем количество всевозможных перестановок из 4 элементов

> combinat[numbperm](4);

К примеру, в случайном порядке выписывают элементы a, b, c, d. Требуется найти вероятность того, что символы a и b окажутся рядом. Получим всевозможные перестановки из a, b, c, d:

> P:=combinat[permute]([a,b,c,d]);

Всего перестановок из 4-х элементов 24. Сгенерируем перестановки из элементов ab,c,d

> Pab:=combinat[permute]([ab,c,d]);

Всего элементов 6. С учетом перестановки символов a и b всего перестановок, благоприятствующих наступлению события "элементы a и b расположены рядом", будет 12. Тогда искомая вероятность равна .

Задача 2 . (Чистяков В. П. Курс теории вероятностей: Учеб.-3-е изд., испр.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.- 1987.). На полке в случайном порядке расставлено n книг, среди которых находится двухтомник Д. Лондона. Предполагая, что различные расположения чисел равновероятны, найти вероятность того, что оба тома двухтомника расположены рядом.

Размещения

Вычислим количество размещений из 4 элементов по 2:

> combinat[numbperm](4, 2);

Составим размещения из элементов a, b, c, d по 2:

> combinat[permute]([a,b,c,d],2);

Составьте свои примеры размещений из 5 элементов по 3.

Слагаемые целого

Пусть требуется найти всевозможные комбинации 3-х слагаемых числа 6

> combinat[composition](6, 3);

Всего таких комбинаций

> combinat[numbcomp](6, 3);

Биномиальные коэффициенты

Приведем примеры вычисления биномиальных коэффициентов (числа сочетаний)

> binomial(5, 2);

> binomial(5, 3);

> binomial(6, 4);

Вычислим число сочетаний из n по 2 (по 3) и разложим в ряд по n

> binomial(n, 2);

> expand(%);

> binomial(n, 3);

> expand(%);

Выразим число сочетаний из n по 3 через факториалы

> convert(binomial(n,3),factorial);

Задача 3 . Выписана последовательность из n случайных чисел (от 0 до 9). Найти вероятности событий: B={среди n чисел ровно m делятся на 3};

С={среди n чисел ровно m+2 делятся на 3, и два из них расположены на концах последовательности}.

Решение. Найдем вероятность события B. На 3 делятся 0, 3, 6 и 9. Вероятность того, что случайно выбранное число делится на 3, равна , а вероятность противоположного события - . Количество слагаемых в событии B равно числу сочетаний из n элементов по m, вероятность наступления каждого их которых равна . Следовательно,

> P(B):=convert(binomial(n,m),factorial)*(2/5)^m*(3/5)^(n-m);

Задача 4 . В партии изделий 90 исправных и 10 бракованных. Найти вероятность того, что среди 10 проданных изделий: а) ровно одно бракованное; б) нет бракованных.

Факториалы и гамма-функция

Гамма-функция определяется как интеграл

> Int(exp(-t)*t^(x-1),t=0..infinity);

Выясним связь между гаммой-функцией и факториалом, для чего применим функцию преобразования

> convert(GAMMA(x),factorial);

К примеру,

> convert(GAMMA(5),factorial);

Таким образом, гамма-функция от n+1 есть ни что иное, как n! Заметим, что гамма-функция определена и для нецелых чисел. Следовательно, и факториалы нецелых чисел также можем вычислить. Например, 3.5! :

> convert(GAMMA(4.5),factorial);

Можем вычислить искомое значение и так

> 3.5!;

Оценим 3.5! c точностью до 6 значащих цифр

> Digits:=6;evalf(3.5!);

Построим график гамма-функции на интервале от -2 до -1

> plot(GAMMA(x),x=-2..-1);

Задача 5 . Исследуйте поведение гамма-функции в окрестности целых отрицательных чисел.

(См. задачи в Чистяков В. П. Курс теории вероятностей: Учеб.-3-е изд., испр.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.- 1987.)

Задача 6 . Числа 1, 2,..., n расставлены случайным образом. Предполагая, что различные расположения чисел равновероятны, найти вероятность того, что числа 1, 2, 3 расположены в порядке возрастания, но не обязательно рядом.

Задача 7 . Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся на разные месяцы года.

Задача 8 . В партии изделий 90 исправных и 10 бракованных. Найти вероятность того, что среди 10 проданных изделий: а) ровно одно бракованное; б) нет бракованных.

Задача 9 . В купейный вагон (9 купе по 4 места) семи пассажирам продано семь билетов. Найти вероятность событий: А={пасажиры попали в два купе}; В={пассажиры попали в три купе}.

Рассмотреть два случая:

1) пассажиры покупают билеты в разное время независимо друг от друга (воспользоваться схемой случайного выбора без возвращения);

2) пассажиры едут вместе, и один покупает билеты всей группе (предположить, что номера проданных пассажиру мест идут подряд, а наименьший номер места выбирается случайно из множества номеров {1, 2,..., 30}.

Задача 10 . Из множества чисел {-n, -n+1, -n+2,...,-1, 0, 1,..., n}по схеме случайного выбора с возвращением выбирается два числа x и y. Пусть -вероятность того, что . Найти .

Задача 11 . На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата a бросается наудачу монета радиуса r, 2r<a. Найти вероятность того, что: 1) монета целиком попадет внутрь одного квадрата; 2) пересечет не более одной стороны квадрата.

Задача 12 . В урне M белых и N-M черных шаров. По схеме случайного выбора с возвращением из урны извлекается n шаров. Найти вероятности событий: A={при k-м извлечении появился белый шар}, B={при k-м и i-м извлечениях появились белые шары}, С={среди n извлеченных шаров ровно m белых}.

Задача 13 . Решить задачу 9 в случае выбора без возвращения.

Задача 14 . Найти вероятность того, что на две карточки "Спортлото" с отмеченными номерами (4, 12, 38, 20, 41, 46) и (4, 12, 38, 20, 41, 49) будет получено по минимальному выигрышу (т.е. угадано ровно по три числа).

Задача 15 . Электрон вылетает из случайной точки нити накала и движется по перепендикуляру к нити. С какой вероятностью он свободно пройдет через сетку, окружающую нить и имеющую вид винтовой линии радиуса R, толщины и шага H?

Задача 16. Электрон вылетает из случайной точки нити накала и движется по перепендикуляру к нити. С какой вероятностью он свободно пройдет через сетку, окружающую нить и имеющую вид винтовой линии радиуса R, толщины и шага H?

В начало | Л.р.2 | Л.р.3 | Л.р.4 | Л.р.5 | Л.р.6 | Л.р.7 | Л.р.8

| Л.р.9 | Л.р.10 | Л.р.11 | Л.р.12 | Л.р.13 | Л.р.14 | Л.р.15
Вернуться на страницу <Методические разработки>