|
Вернуться на страницу <Методические разработки>
В начало | Л.р.1 | Л.р.2 | Л.р.3 | Л.р.4 | Л.р.5 | Л.р.6 | Л.р.7
| Л.р.8 | Л.р.9 | Л.р.10 | Л.р.11 | Л.р.12 | Л.р.14 | Л.р.15
Лабораторная работа 13
Точечные оценки неизвестных параметров распределения
выборочное среднее ~ выборочная дисперсия ~ выборочное среднее квадратическое отклонение
Пусть ![x[1]](images13/lab131.gif) , ![x[2]](images13/lab132.gif) ,..., ![x[n]](images13/lab133.gif) - наблюдавшиеся значения случайной величины x. Точечной оценкой для Mx служит выборочное среднее
![m = 1/n*sum(x[i],i = 1 .. n)](images13/lab136.gif)
Оценкой дисперсии является выборочная дисперсия
![s^2 = sum((x[i]-m)^2,i = 1 .. n)/n](images13/lab137.gif)
Для оценки дисперсии при малых n используется величина (исправленная выборочная дисперсия)
Корень квадратный из выборочной дисперсии называется выборочным средним квадратическим отклонением величины x .
(См. задачи в Агапов Г. И. Задачник по теории вероятностей: Учеб. пособие для студентов втузов. - М.: Высш. шк., 1986.
Задача 1 . В результате пяти измерений длины стержня одним прибором (без систематических ошибок, т.е. предполагается, что математическое ожидание измерений ![xi[i]](images13/lab1310.gif) совпадает с истинной длиной стержня) получены следующие результаты ( в мм): 92, 94, 103, 105, 106. Найти:
а) выборочную среднюю длину стержня;
б) выборочную дисперсию и несмещенную оценку дисперсии ошибок прибора.
Решение . Загрузим библиотеку и зададим выборку
> with(stats);
> data:=[92,94,103,105,106];
![data := [92, 94, 103, 105, 106]](images13/lab1312.gif)
Найдем выборочную среднюю, для чего используем команду mean из подбиблиотеки describe:
> describe[mean](data);
Найдем выборочную дисперию
> describe[variance](data);
Найдем несмещенную оценку дисперсии ошибок прибора:
> n/(n-1)*describe[variance](data);
Задача 2 . Приведены результаты измерения роста (в см) случайно отобранных 100 студентов
> data:=[Weight(154..158,10),Weight(158..162,14),Weight(162..166,26),Weight(166..170,28),Weight(170..174,12),Weight(174..178,8),Weight(178..182,2)];
Найти выборочное среднее и выборочную дисперсию роста обследованных студентов.
Задача 3 . На телефонной станции производились наблюдения за числом неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие результаты:
> data:=[3,1,3,4,2,1,1,3,2,7,2,0,2,4,0,3,0,2,0,1,3,3,1,2,2,0,2,1,4,3,4,2,0,2,3,1,3,1,4,2,2,1,2,5,1,1,0,1,1,2,1,0,3,4,1,2,2,1,1,5]:
Найти среднее и дисперсию распределения. Сравнить с распределением Пуассона.
Решение . Найдем выборочную среднюю
> lambda:=describe[mean](data);
Найдем выборочную дисперсию
> nu[2]:=describe[variance](data);
![nu[2] := 21/10](images13/lab1319.gif)
Представим выборку в виде статистического ряда:
> data1:=transform[tally](data);
Найдем относительные частоты
> data2:=transform[scaleweight[1/describe[count](data1)]](data1);
Вычислим соответствующие вероятности по формуле Пуассона
> data3 := array(1..7):
for i from 1 to 7 do data3[i] :=evalf(exp(-lambda)*lambda^(i-1)/(i-1)!) od:
> print(data3);
Для сравнения относительных частот и вероятностей получим массив относительных частот
> data4:=transform[frequency](data2);
![data4 := [2/15, 17/60, 4/15, 1/6, 1/10, 1/30, 1/60]...](images13/lab1324.gif)
Сравним частоты и вероятности (в %)
> sum(abs(data3[k]-data4[k]),k=1..7)*100;
Очевидно, что относительные частоты мало отличаются от вероятностей. Поэтому распределение случайной величины (числа неправильных соединений в минуту) близко к распределению Пуассона.
Задача 3 . Измерен параметр транзистора, результаты измерений приведены в массиве
> data:=[4.4,4.31,4.4,4.4,4.65,4.56,4.71,4.54,4.34,4.56,4.32,4.42,4.6,4.35,4.5,4.4,4.43,4.48,4.42,4.45]:
Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию и ее несмещенную оценку.
Задача 4 . Измерительным прибором, практически не имеющим систематической погрешности, было сделано пять независимых измерений некоторой величины. Результаты измерений приведены в массиве
> data:=[2781,2836,2807,2763,2858]:
а) Найти выборочную дисперсию погрешности измерения, если измеряемая величина точно известна: 2800;
б) найти выборочное среднее, выборочную дисперсию и ее несмещенную оценку, если точное значение измеряемой величины неизвестно.
Задача 5 . При шприцевании в лабораторных условиях протекторной резиновой смеси были получены следующие значения усадки: 90, 93.1, 95, 96, 100, 101, 106. Найти выборочное среднее значение усадки, выборочную дисперсию и ее несмещенную оценку.
В начало | Л.р.1 | Л.р.2 | Л.р.3 | Л.р.4 | Л.р.5 | Л.р.6 | Л.р.7
| Л.р.8 | Л.р.9 | Л.р.10 | Л.р.11 | Л.р.12 | Л.р.14 | Л.р.15
Вернуться на страницу <Методические разработки>
|
