Вернуться на страницу <Методические разработки>
В начало | Л.р.1 | Л.р.2 | Л.р.3 | Л.р.4 | Л.р.5 | Л.р.6 | Л.р.7

| Л.р.8 | Л.р.9 | Л.р.10 | Л.р.11 | Л.р.12 | Л.р.13 | Л.р.15

Лабораторная работа 14
Ковариация и коэффициент корреляции

Определение. Пусть x и h -случайные величины, xh - их произведение, Mx , Mh ,Mxh - математические ожидания этих величин, sx , sh - средние квадратические отклонения случайных чисел x и h.

Число

называется коэффициентом ковариации случайных чисел x  и h , а число

коэффициентом корреляции.

Свойства коэффициента корреляции:

1. r( x , h )=0 для независимых случайных величин x и h .

2. -1<=r( x , h )<=1 для любых случайных величин x и h .

3. Если |r( x , h )|=1, то случайные величины x и h связаны соотношением h = ax +b , где a и b - некоторые постоянные (если r( x , h )=1, то a>0, если r( x , h )= -1, то a<0).

Обратно, если x и h связаны соотношением , то |r( x , h )|=1 (r( x , h )=1 при a>0, r( x , h )= -1 при a<0).

Справедливы следующие формулы:

k( x , h )=M[( x -M x )( h -M h )],

r( x , h )= ,

k( x,h )= ( )( ) ,

k( x, h )= .

Задача 1 . (Агапов Г. И. Задачник по теории вероятностей: Учеб. пособие для студентов втузов. - М.: Высш. шк., 1986.) Двумерная случайная величина ( x, h ) подчинена закону распределения с плотностью вероятности f(x,y)=Axy в области D и f(x,y)=0 вне этой области. Область D - треугольник, ограниченный прямыми x+y-1 =0, x=0, y=0. Найти:

а) величину А;

б) M x и M h ;

в)D x и Dh ;

г) k( x , h );

д) r( x, h ) .

Решение . а) Очевидно, что двойной интеграл по области D от функции f(x,y) есть вероятность попадания случайной точки в область D. Загрузим библиотеку student

> with(student):f(x,y):=A*x*y:

Выразим вероятность попадания случайной точки в область D через инертную форму двойного интеграла:

> P:=Doubleint(f(x,y),y=0..1-x,x=0..1);

Оценим инертную форму:

> value(P);

Очевидно, что P=1. Тогда

> A:=24;

б) Найдем математические ожидания случайных величин x и h :

> M(xi):=Doubleint(x*f(x,y),y=0..1-x,x=0..1);

Оценим математическое ожиданиеM x :

> value(M(xi));

> M(eta):=Doubleint(y*f(x,y),y=0..1-x,x=0..1);

> M(eta):=value(M(eta));

Таким образом, математические ожидания случайных величин x и h равны .

в) Вычислим дисперсии случайных величин x и h :

> D(xi):=value(Doubleint((x-M(xi))^2*f(x,y),y=0..1-x,x=0..1));

> D(eta):=value(Doubleint((y-M(eta))^2*f(x,y),y=0..1-x,x=0..1));

г) Найдем ковариацию и коэффициент корреляции:

> k(xi,eta):=value(Doubleint((y-M(eta))*(x-M(xi))*f(x,y),y=0..1-x,x=0..1));

> r(xi,eta):=k(xi,eta)/(sqrt(D(xi)*D(eta)));

(Задачи 2, 3 и 4 из Чистяков В. П. Курс теории вероятностей: Учеб.-3-е изд., испр.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.- 1987.)

Задача 2 . Дано совместное распределение случайных величин x и h :

> matr:=linalg[matrix](3,7,[xi, -1, -1, 0, 0, 1,1,eta, -1, 1, -1, 1, -1,1,p, 1/8, 5/24, 1/12, 1/6, 7/24,1/8]);

Найти:

а) одномерные законы распределения x и h ;

б) закон распределения  x  + h ;

в) закон распределения x² ;

г) ковариацию и коэффициент корреляции x и h .

Задача 3 . Совместное распределение случайных величин x и h определяется формулами , , , . Найти . Являются ли x и h независимыми величинами?

Задача 4 . Случайные величины независимы; . Найти коэффициент корреляции величин

а) ;

б) .

В начало | Л.р.1 | Л.р.2 | Л.р.3 | Л.р.4 | Л.р.5 | Л.р.6 | Л.р.7

| Л.р.8 | Л.р.9 | Л.р.10 | Л.р.11 | Л.р.12 | Л.р.13 | Л.р.15
Вернуться на страницу <Методические разработки>