Вернуться на страницу <Методические разработки>
В начало | Л.р.1 | Л.р.2 | Л.р.3 | Л.р.4 | Л.р.5 | Л.р.6 | Л.р.7

| Л.р.9 | Л.р.10 | Л.р.11 | Л.р.12 | Л.р.13 | Л.р.14 | Л.р.15

Лабораторная работа 8
Функции от случайных величин

Пусть дискретная случайная величина x имеет ряд распределения (? здесь и далее означает многоточие)

и пусть y=g(x) - монотонная функция от действительного аргумента x. Тогда дискретная случайная величина h =g(x), которая является функцией от x , имеет ряд распределения

Если y=g(x) - немонотонная функция, то среди ее значений могут быть равные. В этом случае столбцы с равными значениями функции объединяют в один столбец, а соответствующие вероятности складывают.

Пусть теперь  x - непрерывная случайная величина с функцией распределения (x) и плотностью вероятности (x) и пусть функция y=g(x) монотонно возрастает, x= (y) - обратная функция. Тогда

(y)=P{ <y}=P{g(  x )<y}=P{   x < (y)}= ( (y)).

Дифференцируя последнее равенство по y, имеем (если g(x) дифференцируема)

(y)= ( (y)) (y),

откуда получаем соотношение между плотностями

(y)= ( (y)) (y).

Если y=g(x) - монотонно убывающая функция, то аналогично получаются следующие соотношения:

(y)=1- ( (y)), (y)=- ( (y)) (y).

Если случайные величины и абсолютно непрерывны и независимы, то случайная величина тоже абсолютно непрерывна и ее плотность распределения определяется по формуле

.

Задача 1 . Дискретная случайная величина  x имеет ряд распределения

Построить ряд распределения случайной величины .

Решение. Построим ряд распределения случайной величины h =sin(   x )

> matrix([[eta,sin(Pi/4), sin(Pi/2), sin(3*Pi/4)], [p,0.2, 0.7, 0.1]]);

или

> matrix([[eta,sqrt(2)/2,1],[p,0.3,0.7]]);

Задача 2 . Дискретная случайная величина  x имеет ряд распределения . Построить ряд распределения случайных величин h =  x² +1; z =|  x |.

Задача 3 . Непрерывная случайная величина   x имеет плотность вероятности (x). Найти плотность вероятности случайной величины h =3  x .

Воспользуемся формулой (y)= ( (y)) (y) в силу того, что функция g(x)=3x монотонно возрастающая. Обратная функция (y)=y/3. Найдем ее производную

> diff(y/3,y);

Очевидно, что

> f[eta](y):=1/3*f[xi](y/3);

Задача 4 . Случайная величина x  распределена по нормальному закону с параметрами ( ). Найти закон распределения обратной ей величины .

Задача 5 . Случайная величина x  имеет показательное распределение с плотностью вероятности , x>0. Найти закон распределения случайной величины .

Задача 6 . Случайная величина x  распределена равномерно на отрезке [-1, 2]. Найти закон распределения случайной величины = .

Задача 7 . Докажите, что если случайная величина x  имеет нормальное распределение с параметрами ( ), то случайная величина , , имеет нормальное распределение с параметрами ( ).

Задача 8 . Величины x ₁ и x ₂ независимы, одинаково распределены и имеют показательное распределение: , , x>0. Найти закон распределения их суммы.

В начало | Л.р.1 | Л.р.2 | Л.р.3 | Л.р.4 | Л.р.5 | Л.р.6 | Л.р.7

| Л.р.9 | Л.р.10 | Л.р.11 | Л.р.12 | Л.р.13 | Л.р.14 | Л.р.15
Вернуться на страницу <Методические разработки>