Вернуться на страницу <Методические разработки>
В начало | Л.р.1 | Л.р.2 | Л.р.3 |  Л.р.5 | Л.р.6 | Л.р.7 | Л.р.8

| Л.р.9 | Л.р.10 | Л.р.11 | Л.р.12 | Л.р.13 | Л.р.14 | Л.р.15

Лабораторная работа 4
Предельные теоремы Муавра-Лапласа

Локальная формула ~ Интегральная формула

Теоремы Муавра-Лапласа применяются для приближенного вычисления вероятностей и в независимых испытаниях Бернулли при больших n, m, , когда вероятность p наступления успеха в одном испытании постоянна, величины , , равномерно ограничены по n, m, .

Локальная формула . Вероятность того, что в n независимых испытаниях успех наступит ровно m раз, равна

,

где p - вероятность появления успеха в каждом испытании, q=1-p, .

Интегральная формула . Вероятность того, что в n независимых испытаниях число успехов находится между и , равна

,

где p- вероятность появления успеха в каждом испытании, q=1-p, - функция Лапласа.

В частности,

,

где - частота появления успеха, p - его вероятность, - некоторое положительное число.

Приближенные формулы Муавра-Лапласа применяют в случаях, когда p и q не малы, а .

Задача 1 . Вычислить вероятности того, что при 100-кратном бросании монеты герб выпадет а) ровно 50 раз; б) ровно 60 раз.

Решение. Условия применения локальной теоремы Муавра-Лапласа выполняются, поэтому воспользуемся ею:

> n:=100;p:=0.5;q:=0.5;

> x:=(k-n*p)/sqrt(n*p*q);

> f(x):=1/sqrt(2*Pi)*exp(-x^2/2);

> pn(k):=1/sqrt(n*p*q)*f(x);

Построим график

> plot(pn(k),k=40..60);

Очевидно, что наивероятнейшее число наступления успеха равняется 50.

Задача 2 . Вероятность успеха в каждом испытании равна 0.25. Какова вероятность, что при 300 испытаниях успех наступит а) ровно 75 раз; б) ровно 85 раз?

Задача 3 . В первые классы должно быть принято 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажется 100 девочек, если вероятность рождения мальчика равна 0.515.

Задача 4 . Построить график функции Лапласа.

Решение. Очистим x:

> x:='x':

Зададим функцию Лапласа

> Phi(x):=1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-t^2/2),t=-infinity..x);

Построим график функции Лапласа

> plot(Phi(x),x);

Нетрудно проверить, что .

Задача 5 . Вычислить вероятность наступления случайного события от 790 до 830 раз в 900 независимых испытаниях, если p=0,9.

Решение. Выразим x1 и x2:

> x2:=(830-900*0.9)/sqrt(900*0.9*0.1);

> x1:=(790-900*0.9)/sqrt(900*0.9*0.1);

Вычислим искомую вероятность:

> P:=1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-t^2/2),t=-infinity..x2)-1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-t^2/2),t=-infinity..x1);

Оценим ее:

> evalf(P);

Задача 6 . Какова вероятность того, что в столбике из 100 наугад отобранных монет число монет, расположенных "гербом" вверх, будет от 45 до 55?

Задача 7 . Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбраковано будет не больше 17?

Задача 8 . Сколько нужно произвести опытов с бросанием монеты, чтобы с вероятностью 0.92 можно было ожидать отклонение частоты выпадения "герба" от теоретической вероятности 0.5 на абсолютную величину, меньшую чем 0.01?

Задача 9 . Игральную кость бросают 80 раз. Найти приближенно границы, в которых число выпаданий шестерки будет заключено с вероятностью 0,9973.

Задача 10 . (Чистяков В. П. Курс теории вероятностей: Учеб.-3-е изд., испр.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.- 1987.) В поселке А 2500 жителей. Каждый из них примерно 6 раз в месяц ездит на поезде в город В, выбирая дни поездок независимо от остальных жителей. Какой наименьшей вместительностью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще одного раза в 100 дней? (Поезд идет раз в сутки.)

Решение. Пусть наименьшая вместимость поезда составляет m мест. Вероятность выезда в город В жителя поселка А равна 6/30, вероятность переполнения равна 1/100. Определим функции

> f(t):=1/sqrt(2*Pi)*exp(-t^2/2):F:=x->int(f(t),t=-infinity..x);

Вероятность переполнения поезда (вероятность попадания количества пассажиров в интервал (m, 2500)) выразится так (интегральная формула Муавра-Лапласа):

> p:=F((2500-2500/5)/sqrt(2500/5*4/5))-F((m-2500/5)/sqrt(2500/5*4/5));

Найдем искомое значение m

> ceil(solve(p-0.01,m));

Команда ceil возвращает наименьшее целое, большее или равное аргументу.

В начало | Л.р.1 | Л.р.2 | Л.р.3 |Л.р.5 | Л.р.6 | Л.р.7 | Л.р.8

| Л.р.9 | Л.р.10 | Л.р.11 | Л.р.12 | Л.р.13 | Л.р.14 | Л.р.15
Вернуться на страницу <Методические разработки>