Вернуться на страницу <Методические разработки>
В начало | Л.р.1 | Л.р.2 | Л.р.4 | Л.р.5 | Л.р.6 | Л.р.7 | Л.р.8

| Л.р.9 | Л.р.10 | Л.р.11 | Л.р.12 | Л.р.13 | Л.р.14 | Л.р.15

Лабораторная работа 3
Схема Бернулли. Формула Пуассона

Вероятность того, что в n независимых испытаниях число успехов наступит ровно m раз, выражается формулой Бернулли

где p-вероятность появления успеха в каждом испытании; q=1-p- вероятность неудачи.

В случае, когда n велико, а p мало (обычно p<0,1; npq<10) вместо формулы Бернулли применяют приближенную формулу Пуассона

, где .

Исследуем связь между формулами Бернулли и Пуассона. Для определенности будем считать m=7, а для достаточно больших n пусть np равняется, к примеру, 4, p=4/n. Согласно схеме Бернулли

> P(n,5):=binomial(n,7)*(4/n)^7*(1-4/n)^(n-7);

Перейдем к пределу по n

> limit(P(n,5),n=infinity);

Мы получили формулу Пуассона, т.к.

> 4^7/7!;

Построим график функции

> ps:=7^m/m!*exp(-7);

> plot(ps,m=5..8);

Вероятность при данном n сначала увеличивается при увеличении m от 0 до некоторого , а затем уменьшаются при изменении m от до n. Это число равно целой части числа (n+1)p и называется наивероятнейшим числом появления успеха.

(См. задачи в Чистяков В. П. Курс теории вероятностей: Учеб.-3-е изд., испр.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.- 1987.)

Решите графически задачи:

1) Имеется общество из 500 человек. Найти вероятность того, что у двух человек день рождения придется на Новый год. Считать, что вероятность рождения в фиксированный день равна 1/365.

2) Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0.0004. Найти вероятность того, что в течение минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.

Решите задачи:

3) Батарея дала 14 выстрелов по объекту, вероятность попадания в который равна 0,2. Найти наивероятнейшее число попаданий и вероятность этого числа попаданий.

4) Всхожесть семян данного сорта растений оценивается с вероятностью, равной 0,8. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех?

5) Вероятность рождения мальчика равна 0,515, девочки 0,485. В некоторой семье шестеро детей. Найти вероятность того, что среди них не более двух девочек.

6) Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берется на пробу 2 кубических дециметра воздуха. Найти вероятность того, что в нем будет обнаружен хотя бы один микроб.

7) В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за промежуток времени 7,5 секунд испускало в среднем 3,87 альфа-частиц. Найти вероятность того, что за 1 секунду это вещество испустит хотя бы одну альфа-частицу.

8) Сколько изюма должна в среднем содержать булочка, чтобы вероятность иметь хотя бы одну изюмину в булочке была не менее 0,99?

9) Двое бросают монету по n раз. Найти вероятность того, что у них выпадет одинаковое число гербов.

10) Найти вероятность того, что в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p появятся m+k успехов, причем k успехов появятся в k последних испытаниях.

11) Рыбак забросил спиннинг 100 раз. Какова вероятность того, что он поймал хотя бы одну рыбу, если одна рыба приходится в среднем на 200 забрасываний?

12) В круг вписан квадрат. Какова вероятность того, что из 10 точек, брошенных наудачу в круг, четыре попадут в квадрат, три - в один сегмент и по одной - в оставшиеся три сегмента?

13) Брошено 6 правильных игральных костей. Какова вероятность выпадения:

а) хотя бы одной;

б) ровно одной;

в) ровно двух единиц?

Найти точные значения и сравнить их со значениями, вычисленными по формуле Пуассона.

14) Монету бросают до тех пор, пока два раза подряд она не выпадет одной и той же стороной. Найти вероятности событий:

а) опыт закончится не более чем за четыре бросания;

б) опыт закончится за четное число бросаний.

В начало | Л.р.1 | Л.р.2 | Л.р.4 | Л.р.5 | Л.р.6 | Л.р.7 | Л.р.8

| Л.р.9 | Л.р.10 | Л.р.11 | Л.р.12 | Л.р.13 | Л.р.14 | Л.р.15
Вернуться на страницу <Методические разработки>