Вернуться на страницу <Методические разработки>
В начало | Л.р.1 | Л.р.2 | Л.р.3 | Л.р.4 | Л.р.5 | Л.р.6 | Л.р.8

| Л.р.9 | Л.р.10 | Л.р.11 | Л.р.12 | Л.р.13 | Л.р.14 | Л.р.15

Лабораторная работа 7
Числовые характеристики случайных величин

математическое ожидание ~ мода ~ медиана ~ моменты

Характеристиками положения случайной величины являются математическое ожидание, мода и медиана.

Средним значением, или математическим ожиданием случайной величины x называют

M x = (для дискретной случайной величины),

M x = (для непрерывной случайной величины),

причем предполагается, что ряд и интеграл сходятся абсолютно. В этих формулах x_i - значения случайной величины,

p_i - их вероятности, f(x) - плотность вероятности.

Свойства математического ожидания:

1) MC=C, где С - const;

2) M(C x )=CM x ;

3) M( x )=M x +M h,.mn , где x и h - любые случайные величины;

4) M( x h)=M x M h , если x и h - независимые случайные величины.

Случайные величины x и h называются независимыми, если для любых x и y имеет место равенство

P{ x <x, h <y}=P{ x <x}P{ h <y}.

Модой ( M₀ ) дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Модой непрерывной случайной величины называется то ее значение, при котором плотность вероятности максимальна.

Медианой непрерывной случайной величины x называется такое ее значение M_e , для которого

P{ x < M_e }=P{ x > M_e }=0.5.

Начальные и центральные моменты k-го порядка случайной величины x определяются соответственно формулами:

=M и =M .

Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины x :

D x =M =

(для любой дискретной случайной величины) и

D x =

(для непрерывной случайной величины).

Для вычислений удобна следующая формула:

D x =M  x² - (M x)² .

Свойства дисперсии:

1) DC=0, где C-const;

2) D(C x )= C² D x ;

3) если x и h   - независимые случайные величины, то D( x + h  )=D x +D h  .

Центральные моменты выражаются через начальные моменты по следующим формулам:

;

;

.

Центральные моменты характеризуют рассеяние случайной величины.

Ассиметрия , где - среднее квадратичное отклонение случайной величины x . Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то A_s =0. Если A_s >0, то кривая плотности вероятности имеет "скос" с левой стороны; если A_s <0, то - с правой стороны.

Эксцессом случайной величины x называется величина

.

Для нормального закона распределения E_k = 0 . Величина E_k характеризует "крутость" кривой плотности вероятности по сравнению с кривой Гаусса. Для островершинных кривых E_k >0, для пологих E_k <0.

Заметим, что размерность величин Mx и  s совпадает с размерностью самой случайной величины x , а размерность Dx равна квадрату размерности x .

Задача 1 . Число a -частиц, достигающих счетчика в некотором опыте, является случайной величиной x , распределенной по следующему закону:

Найти :

а) математическое ожидание и дисперсию числа частиц, достигающих счетчика;

б) вероятность того, что число частиц, достигших счетчика, не меньше 4;

в) дисперсию x .

Решение. Зададим матрицу

> R:=matrix([[xi, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10], [p, .21e-1, .81e-1, .156, .201, .195, .151, .97e-1, .54e-1, .26e-1, .11e-1, .7e-2]]);

а) Вычислим математическое ожидание

> nu[1]:=sum(R[1,i]*R[2,i], i=2..11);

б) Найдем вероятность того, что число частиц, достигших счетчика, не меньше 4

> P(xi>=4):=sum(R[2,i], i=6..11);

в) Найдем дисперсию

> mu[2]:=sum((R[1,i]-nu[1])^2*R[2,i], i=2..11);

Задача 2 . Случайная величина x имеет биномиальное распределение:

P{ x =m}= , m=0, 1, ..., n.

Найти M x и D x .

Задача 3 . При 10000 бросаниях монеты "герб" выпал 5400 раз. Следует ли считать, что монета несимметрична?

Решение. Напомним правило "трех сигм" в схеме Бернулли. Из интегральной теоремы Муавра-Лапласа вытекает, что

P_n (np-3 s , np+3 s )=0.9973, где . Эта формула называется правилом "трех сигм". Она указывает интервал (np-3 s , np+3 s ), в который с практической достоверностью попадает количество наступлений событий при последовательных испытаниях. Найдем этот интервал:

> n:=10000:m:=5400:p:=0.5:q:=0.5:sigma:=sqrt(n*p*q);k[1]:=n*p-sigma;k[2]:=n*p+sigma;

Очевидно, что число 5400 не попадает в интервал от 4950 до 5050. Поэтому наверняка монета несимметрична.

Очистим память командой

> restart:

Задача 4 . (Геометрическое распределение.). Стрелок стреляет в цель до тех пор, пока не поразит ее. Вероятность попадания при отдельном выстреле равна p, результаты выстрелов можно считать независимыми. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение числа выстрелов.

Решение. Наложим следующие условия на вероятность p:

> assume(p<=1);

> additionally(p>=0);

Вероятность попадания в цель при n выстрелах ( n-1 промах и одно попадание) равна

> p[n]:=p*(1-p)^(n-1);

Найдем математическое ожидание

> nu[1]:=sum(p[n]*n, n=1..infinity);

Упростим

> nu[1]:=simplify(nu[1]);

Вычислим дисперсию

> mu[2]:=sum(p[n]*n^2,n=1..infinity)-nu[1]^2;

Упростим

> mu[2]:=simplify(mu[2]);

Найдем среднее квадратичное отклонение

> sigma:=sqrt(mu[2]);

Задача 5 . Дискретная случайная величина x имеет распределение Пуассона:

P{ x = m }= , m=0, 1, 2,...

Найти:

а) математическое ожидание и дисперсию x ;

б) коэффициент ассиметрии x .

Задача 6 . (Равномерное распределение.) Плотность вероятности случайной величины x равна

> f(x):=piecewise(x<a,0,x>=a and x<=b,1/(b-a),x>b,0);

а) Построить функцию распределения F(x) и начертить ее график;

б) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины x .

Наложим условие на a и b

> assume(a<b);

Построим функцию распределения

> F(x):=piecewise(x<a,0,x>=a and x<=b,(x-a)/(b-a),x>b,1);

Вычислим математическое ожидание x :

> nu[1]:=simplify(int(x/(b-a),x=a..b));

Найдем дисперсию x

> mu[2]:=int(x^2/(b-a),x=a..b)-nu[1]^2;

Преобразуем дисперсию

> mu[2]:=factor(mu[2]);

Найдем среднее квадратичное отклонение

> sigma:=sqrt(mu[2]);

Для построения графика функции распределения параметрам a и b присвоим некоторые значения, например

> a:=1:b:=4:F(x):=piecewise(x<a,0,x>=a and x<=b,(x-a)/(b-a),x>b,1);

> plot(F(x),x);

Задача 7 . Случайная величина x имеет плотность вероятности

> f(x):=piecewise(abs(x)<=Pi/2,2/Pi*(cos(x))^2,abs(x)>Pi/2,0);

Найти математическое ожидание и дисперсию x .

Задача 8 . (Показательное распределение.) Случайная величина x имеет плотность вероятности

> assume(lambda>=0):f(t):=piecewise(t<0,0,t>=0,lambda*exp(-lambda*t));

а) Построить функцию распределения F(t);

б) найти Mx и Dx ;

в) найти вероятность того, что случайная величина x примет значение, меньшее, чем ее математическое ожидание;

г) найти P{| x - Mx |<3 } .

> a:='a':t:='t':lambda:='lambda':sigma:='sigma';

Задача 9 . (Нормальное распределение.) Случайная величина x имеет плотность вероятности

> f(x):=1/(sigma*sqrt(2*Pi))*exp(-(x-a)^2/(2*sigma^2));

Найти:

а) Mx , Dx ;

б) вероятность того, что x примет значение, принадлежащее интервалу (1, 4);

в) моду и медиану случайной величины x .

Задача 10 . Дана плотность вероятности случайной величины x :

> f(x):=piecewise(x<0,0,x>=0 and x<=1,3/2*x^2,x>1 and x<=2,3/2*(2-x)^2,x>2,0);

Найти:

а) начальные и центральные моменты первых четырех порядков;

б) асимметрию и эксцесс этой случайной величины.

Задача 11 . Коробки с шоколадом упаковываются автоматически: их средняя масса равна 1.06 кг. Найти стандартное отклонение, если 5% коробок имеют массу меньше 1 кг. Предполагается, что масса коробок распределена по нормальному закону.

В начало | Л.р.1 | Л.р.2 | Л.р.3 | Л.р.4 | Л.р.5 | Л.р.6 | Л.р.8

| Л.р.9 | Л.р.10 | Л.р.11 | Л.р.12 | Л.р.13 | Л.р.14 | Л.р.15
Вернуться на страницу <Методические разработки>