Вернуться на страницу <Методические разработки>
В начало | Л.р.1 | Л.р.2 | Л.р.3 | Л.р.4 | Л.р.5 | Л.р.7 | Л.р.8

| Л.р.9 | Л.р.10 | Л.р.11 | Л.р.12 | Л.р.13 | Л.р.14 | Л.р.15

Лабораторная работа 6
Случайные величины

Пусть ={ } пространство элементарных событий. Случайной величиной x называется функция x ( ), определенная на множестве , , принимающая числовые значения и такая, что для любого действительного x определена вероятность P( x <x)=P{ : x ( )<x}.

Эта вероятность P( x <x)=F(x) называется функцией распределения случайной величины x .

Свойства функции распределения:

1) 0<=F(x)<=1;

2) P{a<= x <b}=F(b)-F(a);

3) F(x1)<=F(x2), если x1<=x2;

4) F(- )=0, F(+ )=1.

Если x - дискретная случайная величина, принимающая значения x(1), x(2),...,x(n) с вероятностями p(1), p(2),...,p(n) то функция распределения

F(x)=P( x <x)= p(i),

где суммируются вероятности тех значений x(i), которые меньше x.

Если x - абсолютно непрерывная случайная величина с плотностью вероятности f(x), то функция распределения

F(x)=

Свойства плотности вероятности:

1) f(x)>=0;

2) =1;

3) f(x)= ;

4) P{a< x <b}=

Абсолютно непрерывная случайная величина задается либо функцией распределения F(x), либо плотностью вероятности f(x). Заметим, что функцию f(x) называют еще плотностью распределения случайной величины x .

Рядом (или законом распределения дискретной случайной величины x называют таблицу,

в первой строке которой возможные значения x , а во второй - соответствующие вероятности p_i =P{ x = x_i };

  p_i =1.

Задача 1 . Дан ряд распределения случайной величины x :

> matrix([[-2, -1, 0, 1, 2], [0.1, 0.2, 0.2, 0.4, 0.1]]);

Построить функцию распределения случайной величины x , вычислить вероятность попадания случайной величины x в интервал [-1; 2].

Решение. Функция распределения случайной величины:

> F:=piecewise(x<-2,0,x>=-2 and x<-1,0.1,x>=-1 and x<0,0.3,x>=0 and x<1,0.5,x>=1 and x<2,0.9,x>=2,1);

Построим график функции распределения:

> plot(F(x),x);

Чтобы вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [-1; 2], зададим функцию F(x) как процедуру-функцию

> F:=x->piecewise(x<-2,0,x>=-2 and x<-1,0.1,x>=-1 and x<0,0.3,x>=0 and x<1,0.5,x>=1 and x<2,0.9,x>=2,1);

Воспользуемся формулой P(a<= x <b)=F(b)-F(a) и получим искомую вероятность:

> p:=F(2)-F(-1);

Задача 2. Бросают пять монет. Требуется:

а) задать случайную величину x , равную числу выпавших "решеток";

б) построить ряд распределения и функцию распределения F(x) случайной величины x , если вероятность выпадения "герба" равняется 0.5;

в) построить график функции распределения;

г) найти вероятность того, что выпадет не более 2-х "решеток".

Задача 3. Случайная величина x задана функцией распределения:

> F:='F':F:=piecewise(x<2,0,x>=2 and x<3,(x-2)^2,x>3,1);

Найти плотность вероятности f(x), построит графики F и f, вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 2.5).

Решение. Найдем плотность вероятности случайной величины x :

> f:=diff(F, x);

Заметим, что в точке x=3 производная функции F(x) не существует.

Построим графики функций F(x) и f(x).

> plot(F,x);

> plot(f,x);

Вычислим вероятность попадания случайной величины x в интервал (1; 2.5), для чего преобразуем функцию F(x) в функцию-процедуру

> F:=unapply(F,x);

Тогда искомая вероятность равна

> F(2.5)-F(1);

Задача 4. (Нормальное распределение с параметрами (0,1)). Дана функция распределения случайной величины

> F(x):=1/sqrt(2*Pi)*Int(exp(-t^2/2),t=-infinity..x);

Найдите плотность вероятности f(x), постройте графики функций f(x) и F(x), вычислите вероятность попадания случайной величины в интервал (-2; 5).

Задача 5 . Случайная величина x имеет плотность распределения

> f(x):=piecewise(x<=0,0,x>0 and x<=Pi,0.5*sin(x),x>Pi,0);

а) Построить функцию распределения F(x);

b) найти вероятность того, что в результате испытания величина x примет значение, заключенное в интервале (0, p /4).

Задача 6 . Пусть l >0 и x>=0.

> assume(lambda>0):assume(x>=0):

Плотность вероятности случайной величины x равна

> f:=A*x^2*exp(-lambda*x);

Построить функцию распределения F случайной величины x , вычислить значение A, найти вероятность попадания случайной величины x в интервал (0, 1/ l).

Решение. Найдем функцию распределения, для чего подставим в функцию f вместо x переменную t и проинтегрируем f по t от 0 до x:

> f:=subs(x=t,f):F:=int(f,t=0..x);

Найдем коэффициент А, используя тот факт, что интеграл от функции f от 0 до бесконечности равен 1

> solve(int(f,t=0..infinity)-1,A);

Для вычисления вероятности попадания случайной величины в интервал (0, 1/ l ) подставим в функцию F найденное значение A

> F:=subs(A=1/2*lambda^3,F);

Препобразуем функцию F в функцию-процедуру и вычислим искомую вероятность:

> F:=unapply(F,x);p:=F(1/lambda)-F(0);

Задача 7 . (Закон гиперболического секанса). Плотность вероятности случайной величины x равна

> f:=A/(exp(x)+exp(-x));

Найти:

а) коэффициент А;

б) вероятность того, что в двух независимых наблюдениях x примет значения, меньшие 1.

В начало | Л.р.1 | Л.р.2 | Л.р.3 | Л.р.4 | Л.р.5 | Л.р.7 | Л.р.8

| Л.р.9 | Л.р.10 | Л.р.11 | Л.р.12 | Л.р.13 | Л.р.14 | Л.р.15
Вернуться на страницу <Методические разработки>