Вернуться на страницу <Методические разработки>
В начало | Л.р.1 | Л.р.2 | Л.р.3 | Л.р.4 | Л.р.5 | Л.р.6 | Л.р.7

| Л.р.8 | Л.р.9 |  Л.р.11 | Л.р.12 | Л.р.13 | Л.р.14 | Л.р.15

Лабораторная работа 10
Закон больших чисел

Неравенство Чебышева ~ Теорема Чебышева

Неравенство Чебышева. Для любой случайной величины x , имеющей конечную дисперсию, и для любого числа 0 < e

Это неравенство можно записать в другом виде

Неравенство Чебышева позволяет оценивать вероятность отклонения случайной величины  x от своего математического ожидания, зная лишь D x .

Теорема Чебышева. Если ,..., ,...- последовательность случайных величин, таких, что: 1) они попарно независимы; 2) имеют конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной C>0, то каково бы ни было 0 < e,

Если, в частности, = =...=a, то

=1 .

(См. задачи в Чистяков В. П. Курс теории вероятностей: Учеб. - 3-е изд., испр. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.- 1987)

Задача 1 . Последовательность независимых случайных величин ,..., ,...задана законом распределения:

. Применима ли к этой последовательности теорема Чебышева?

Решение. Проверим, имеют ли случайные величины , ..., ... конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной

> M(xi):=a*n/(2*n+1)-a*(n+1)/(2*n+1);

> simplify(M(xi));

> D(xi):=a^2*n/(2*n+1)+a^2*(n+1)/(2*n+1)-M(xi)^2;

> simplify(D(xi));

> limit(D(xi),n=infinity);

Ответ: Да, так как случайные величины попарно независимы, имеют конечные дисперсии, ограниченные числом a².

Задача 2. (Правило трех сигм). Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что любая случайная величина x   отклонится от своего математического ожидания менее чем на три средних квадратичных отклонения этой величины.

Задача 3 . Длина изготовляемых изделий представляет случайную величину, среднее значение которой (математическое ожидание) равно 90 см. Дисперсия этой величины равна 0,0225. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что:

а) отклонение длины изготовленного изделия от ее среднего значения по абсолютной величине не превзойдет 0,4;

б) длина изделия выразится числом, заключенным между 89,7 и 90,3 см.

Задача 4 . Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,05. используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за время t окажется меньше 2.

Задача 5 . Дискретная случайная величина x  задана законом распределения . Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что .

Задача 6 . Дана последовательность независимых случайных величин ,..., ,... Случайная величина (n=1,2,..) может принимать только три значения: ,0, с вероятностями, соответственно равными , , . Применима ли к этой последовательности теорема Чебышева?

В начало | Л.р.1 | Л.р.2 | Л.р.3 | Л.р.4 | Л.р.5 | Л.р.6 | Л.р.7

| Л.р.8 | Л.р.9 |  Л.р.11 | Л.р.12 | Л.р.13 | Л.р.14 | Л.р.15
Вернуться на страницу <Методические разработки>