Математическое ожидание ~ Дисперсия ~ Условное математическое ожидание ~ Ковариация ~ Корреляция

В этом разделе рассмотрены числовые характеристики только двумерных случайных величин, поскольку обобщение на случай не вызывает затруднений.

Математическое ожидание

Пусть (x , h ) - двумерная случайная величина, тогда M(x , h )=(M(x ), M(h )), т.е. математическое ожидание случайного вектора - это вектор из математических ожиданий компонент вектора.

Если (x , h ) - дискретный случайный вектор с распределением

то математические ожидания компонент вычисляются по формулам:

, .

Эти формулы можно записать в сокращенном виде.

Обозначим и , тогда и .

Если p_{(x , h )}(x, y)- совместная плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины (x , h ), то

и .

Поскольку -плотность распределения случайной величины x , то и, аналогично, .

Дисперсия

Понятие дисперсии обобщается на многомерные случайные величины нетривиальным образом. Это обобщение будет сделано в следующем разделе. Здесь лишь приведем формулы для вычисления дисперсии компонент двумерного случайного вектора.

Если (x , h ) - двумерная случайная величина, то

Dx = M(x - Mx )² = Mx ² - M(x )², Dh = M(h - Mh )² = Mh ² - M(h )².

Входящие в эту формулу математические ожидания вычисляются по приведенным выше формулам.

Условное математическое ожидание

Между случайными величинами может существовать функциональная зависимость. Например, если x - случайная величина и h =x ², то h - тоже случайная величина, связанная с x функциональной зависимостью. В то же время между случайными величинами может существовать зависимость другого рода, называемая стохастической. В разделе, посвященном условным распределениям уже обсуждалась такая зависимость. Из рассмотренных там примеров видно, что информация о значении одной случайной величины (одной компоненты случайного вектора) изменяет распределение другой случайной величины (другой компоненты случайного вектора), а это может, вообще говоря, изменить и числовые характеристики случайных величин.

Математическое ожидание, вычисленное по условному распределению, называется условным математическим ожиданием.

Для двумерного дискретного случайного вектора (x , h ) с распределением

условное математическое ожидание случайной величины x при условии, что случайная величина h принимает значение y_j, вычисляется по формуле .

Аналогично, условное математическое ожидание случайной величины h при условии, что случайная величина x принимает значение x_i, равно .

Видно, что условное математическое ожидание случайной величины x является функцией значений случайной величины h , т.е. M(x /h = y) = f₁(y) и, совершенно аналогично, M(h /x = x) = f₂(x).

Функцию f₁(y) называют регрессией случайной величины x на случайную величину h , а f₂(x) - регрессией случайной величины h на случайную величину x .

Если p_{(x ,h )}(x, y) совместная плотность вероятностей двумерной случайной величины (x ,h ), то

и .

Ковариация

Если между случайными величинами x и h существует стохастическая связь, то одним из параметров, характеризующих меру этой связи является ковариация cov(x , h ). Ковариацию вычисляют по формулам cov(x , h )=M[(x - Mx )(h - Mh )] = M(x h) - Mx Mh .

Если случайные величины x и h независимы, то cov(x ,h )=0.

Обратное, вообще говоря, неверно. Из равенства нулю ковариации не следует независимость случайных величин. Случайные величины могут быть зависимыми в то время как их ковариация нулевая! Но зато, если ковариация случайных величин отлична от нуля, то между ними существует стохастическая связь, мерой которой и является величина ковариации.

Свойства ковариации:

cov(x , x ) = Dx ;

;

;

,

где C₁ и C₂ - произвольные константы.

Ковариационной матрицей случайного вектора (x ,h ) называется матрица вида

.

Эта матрица симметрична и положительно определена. Ее определитель называется обобщенной дисперсией и может служить мерой рассеяния системы случайных величин (x ,h ).

Как уже отмечалось ранее, дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: . Если же случайные величины зависимы, то .

Корреляция

Понятно, что значение ковариации зависит не только от “тесноты” связи случайных величин, но и от самих значений этих величин, например, от единиц измерения этих значений. Для исключения этой зависимости вместо ковариации используется безразмерный коэффициент корреляции .

Этот коэффициент обладает следующими свойствами:

он безразмерен;

его модуль не превосходит единицы, т.е. ;

если x и h независимы, то k_{(x ,h )}=0 (обратное неверно!);

если , то случайные величины x и h связаны функциональной зависимостью вида

h = ax +b,

где a и b- некоторые числовые коэффициенты;

;

Корреляционной матрицей случайного вектора называется матрица

.

Если и , то ковариационная и корреляционная матрицы случайного вектора (x ,h ) связаны соотношением , где .