|
Плотность вероятности суммы двух случайных величин ~ Распределение произведения двух случайных величин
Если x - случайная величина с областью значений Xx и функция f(x) определена на множестве Xx , то h = f(x) - тоже случайная величина. Задача об отыскании функции распределения случайной величины h по известной функции распределения случайной величины x легко решается, если f(x) - непрерывная монотонно возрастающая функция. Доказано, что тогда функция распределения Fh (x) случайной величины h задается формулой Fh (x)=Fx ([f(x)]-1).
Здесь Fx (x) - известная функция распределения случайной величины x , а символом [f(x)]-1 обозначена функция, обратная к функции f(x).
Плотность распределения случайной величины h для дифференцируемой f(x) вычисляется по формуле
 .
Плотность вероятности суммы двух случайных величин
В теории вероятностей часто возникает необходимость в определении плотности вероятности суммы двух независимых случайных величин. Если x 1 и x 2 - непрерывные независимые случайные величины с плотностями вероятности соответственно p1(x) и p2(x), то плотность вероятностей суммы h = x 1 + x 2 вычисляется по формуле:
 .
Распределение произведения двух случайных величин
Порядок построения распределения произведения двух дискретных случайных величин проще всего объяснить на примере.
Пусть (x , h ) - дискретный случайный вектор с распределением:
| |
1 |
2 |
3 |
4 |
| 0 |
0.01 |
0.02 |
0.03 |
0.04 |
| 1 |
0.1 |
0.1 |
0.2 |
0.4 |
| 2 |
0.05 |
0.01 |
0.01 |
0.03 |
Найдем распределение произведения случайных величин - случайной величины z = x * h,
которая принимает значения 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8. Вычислим соответствующие вероятности:
P(z = x * h = 0) = P(x = 0, h = 1) + P(x = 0, h = 2) + P(x = 0, h = 3) + P(x = 0, h = 4) = 0.1;
P(z = 1) = P(x = 1, h = 1) =0.1; P(z = 2) = P(x = 1, h = 2) + P(x = 2, h = 1) =0.15; и т.д.
В результате получим распределение случайной величины z = x * h :
 z |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
6 |
8 |
| p |
0.1 |
0.1 |
0.15 |
0.2 |
0.41 |
0.01 |
0.03 |
Для того чтобы найти распределение произведения непрерывных случайных величин, необходимо выполнить более громоздкие вычисления.
Пусть (x , h ) - непрерывный двумерный случайный вектор с плотностью распределения p(x h )(x1, x2). Построим функцию распределения случайной величины z =x * h . Согласно определению
 .
Для вычисления этой вероятности рассмотрим отдельно случаи x>0 и x<0. Области интегрирования для обоих случаев на рисунке закрашены.
Область D={ x1x2 < x, x > 0} изображена на рисунке слева, а область D={ x1x2 < x, x < 0} - справа.
При x>0 имеем:  .
При x<0:  .
|
