Равномерное распределение ~ Экспоненциальное (показательное) распределение ~ Нормальное распределение ~ Распределение хи-квадрат (c ²- распределение) ~ F-распределение Фишера ~ Распределение Парето ~ Логистическое распределение ~ Логнормальное распределение ~ Вета-распределение ~ Распределение Вейбулла ~ Распределение Коши ~ Гамма-распределение ~ Распределение Лапласа

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина x , принимающая значения на отрезке [a, b], распределена равномерно на [a, b], если ее плотность распределения p_x (x) и функция распределения F_x (x ) имеют соответственно вид:

, .

Экспоненциальное (показательное) распределение

Непрерывная случайная величина x имеет показательное распределение с параметром l > 0, если она принимает только неотрицательные значения, а ее плотность распределения p_x (x )и функция распределения F_x (x) имеют соответственно вид:

, .

Нормальное распределение

Нормальное распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей и математической статистике.

Случайная величина x нормально распределена с параметрами a и s , s >0, если ее плотность распределения p_x (x ) и функция распределения F_x (x) имеют соответственно вид:

, , Mx = a, Dx = s ²_.

Часто используемая запись x ~ N(a, s ) означает, что случайная величина x имеет нормальное распределение с параметрами a и s .

Говорят, что случайная величина x имеет стандартное нормальное распределение, если a = 0 и s = 1 (x ~ N(0, 1)). Плотность и функция распределения стандартного нормального распределения имеют вид:

, , Mx = 0, Dx = 1.

Здесь - функция Лапласа.

Функция распределения нормальной величины x ~ N(a, s ) выражается через функцию Лапласа следующим образом: .

Если x ~ N(a, s ), то случайную величину h = (x-a)/s называют стандартизованной или нормированной случайной величиной; h ~ N(0, 1) - имеет стандартное нормальное распределение.

Распределение хи-квадрат (c ²- распределение)

Пусть x ₁, x ₂, …, x _n - независимые случайные величины, каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение N(0, 1). Составим случайную величину

c ² = x ₁² + x ₂² + …+ x _n².

Ее закон распределения называется c ²- распределением с nстепенями свободы. Плотность вероятности этой случайной величины вычисляется по формуле:

, Dc 2=2n.

Здесь - гамма-функция Эйлера.

Распределение Стьюдента

Пусть случайная величина x имеет стандартное нормальное распределение, а случайная величина c _n² - c ²-распределение с n степенями свободы. Если x и c _n² - независимы, то про случайную величину говорят, что она имеет распределение Стьюдента с nстепенями свободы. Плотность вероятности этой случайной величины вычисляется по формуле:

, x R, Mt _n = 0, Dt _n = n/(n-2), n>2.

При больших n распределение Стьюдента практически не отличается от N(0, 1).

F-распределение Фишера

Пусть случайные величины c _n²и c _m² независимы и имеют распределение c ² с n и mстепенями свободы соответственно. Тогда о случайной величине говорят, что она имеет F-распределение. Плотность вероятности этой случайной величины вычисляется по формуле:

, x>0, - гамма-функция Эйлера; , m>2; , m > 4.

Распределение Парето

Распределение Парето часто применяется в экономических исследованиях. Плотность вероятностей для случайной величины, распределенной по Парето, имеет вид

, .

Распределение Парето имеет математическое ожидание только при r > 1, а дисперсию - только при r > 2. Cлучайная величина, распределенная по Парето, принимает значения только в области x x₀, x₀ > 0.

Логистическое распределение

Это еще одно распределение, широко применяемое в экономических исследованиях. Для случайной величины x , имеющей логистическое распределение, функция распределения и функция плотности вероятностей имеют соответственно вид:

, ,

, , x R, a и b - параметры распределения.

По своим свойствам логистическое распределение очень похоже на нормальное.

Логнормальное распределение

Случайная величина x имеет логарифмическое нормальное (логнормальное) распределение с параметрами a и s , если случайная величина lnx имеет нормальное распределение с параметрами a >и s . Функция распределения и функция плотности вероятностей логнормального распределения имеют соответственно вид:

, , , .

Бета-распределение

Случайная величина x имеет В-распределение (бета-распределение) с параметрами a₁ и a₂, если ее функция плотности вероятностей имеет вид:

Распределение Вейбулла

Случайная величина x имеет распределение Вейбулла с параметрами l ₀ и a , если ее функция распределения и функция плотности вероятностей имеют соответственно вид:

, , , - гамма-функция Эйлера.

Распределение Коши

Случайная величина x имеет распределение Коши с параметрами a и c, если ее функция распределения и функция плотности вероятностей имеют соответственно вид:

У распределения Коши не существует ни математического ожидания, ни дисперсии. Это распределение не имеет ни одного момента положительного порядка.

Гамма-распределение

Случайная величина x имеет Г-распределение (гамма-распределение) с параметрами a и b, если ее функция плотности вероятностей имеет вид:

, a > 0, b > 0, , , .

Распределение Лапласа

Случайная величина x имеет распределение Лапласа (двустороннее экспоненциальное распределение) с параметром l , если ее функция плотности вероятностей имеет вид:

, - < x < , Mx = 0, Dx = 2/l ².