Пример 1 ~ Пример 2 ~ Пример 3 ~ Пример 4 ~ Пример 5 ~ Пример 6

Пример 1. Решение задачи Коши методом Эйлера

Найдем методом Эйлера на отрезке [0, 1] c шагом h=0.2 приближенное решение задачи Коши
y' = sinx - cosy, y(0)=1.
Изобразим приближенное решение графически.

Расчетные формулы метода Эйлера для решения этой задачи имеют вид
x₀=0, y₀= 1, x_i+1 = x_i + 0.2,  y_i+1 = y_i + 0.2(sinx_i - cosy_i),   i =0, 1, 2, 3, 4.

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 2. Решение задачи Коши методом Эйлера с шагом h и h/2

Найдем методом Эйлера на отрезке [0, 1] c шагом h=0.2 и с вдвое меньшим шагом h=0.1 приближенные решения задачи Коши
y' = sinx - cosy, y(0)=1.
Изобразим оба приближенные решение графически.

Расчетные формулы метода Эйлера для решения этой задачи имеют вид
x₀=0, y₀= 1, x_i+1 = x_i + 0.2,  y_i+1 = y_i + 0.2(sinx_i - cosy_i),   i =0, 1, 2, 3, 4 и
x₀=0, y₀= 1, x_i+1 = x_i + 0.1,  y_i+1 = y_i + 0.1(sinx_i - cosy_i),   i =0, 1, ..., 9.

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 3. Геометрическая интерпретация метода Эйлера

Найдем приближенное решение задачи Коши
y' = y, y(0)=1
в точке x=1 методом Эйлера.
Изобразим на графике точное решение y = exp(x), касательную к нему и вычисленное приближенное решение.

Приближенное решение задачи Коши в точке x=1, вычисленное по формуле Эйлера равно
y(1) = y(x₁) @ y(x₀) + f(x₀, y₀)(x₁-x₀) = y(0)+ y(0)(1-0) =1+1=2,
уравнение касательной к интегральной кривой исследуемого уравнения в точке (x₀,y₀ ) = (0, 1) имеет вид 
y = x.

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 4. Найдем методом Рунге-Кутты 4 порядка на отрезке [0, 1] c шагом h=0.2 приближенное решение задачи Коши
y'=sin(x)-cos(y), y(0)=1.
Изобразим вычисленное приближенное решение графически.

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 5. Найдем методом Рунге-Кутты 4 порядка на отрезке [0, 1] c шагом h=0.2 приближенное решение задачи Коши
y'=sin(x)-cos(y), y(0)=1.
Найдем решение этой же задачи методом Эйлера c шагом h=0.2. Изобразим оба приближенных решения графически.

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 6. Найдем методом Рунге-Кутты на отрезке [0, 3] c шагом h=0.5 и с шагом h=0.25 приближенное решение задачи Коши
y' = x²y³sin(x + y)³,     y(0) = 1.
Оценим погрешность по Рунге. Изобразим оба приближенные решения графически.

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica