 
Этот раздел описывает тригонометрические, гиперболические и показательные функции Mathcad вместе с обратными им. Здесь также описываются встроенные функции Бесселя.
Тригонометрические функции и обратные им.
Тригонометрические функции Mathcad и обратные им определены для любого комплексного аргумента. Они также возвращают комплексные значения везде, где необходимо. Результаты для комплексных значений вычисляются с использованием тождеств:
Для применения этих функций к каждому элементу вектора или матрицы используйте оператор векторизации.
Обратите внимание, что все эти тригонометрические функции используют аргумент, выраженный в радианах. Чтобы перейти к градусам, используется встроенная единица deg. Например, чтобы вычислить синус 45 градусов, введите sin(45*deg).
Имейте в виду, что из-за ошибок округления, свойственных машинной арифметике, Mathcad может возвращать очень большое число в той точке, где находится особенность вычисляемой функции. Вообще, необходимо быть осторожным при вычислениях в окрестности таких точек.
| sin(z) |
Возвращает синус z. В прямоугольном треугольнике это — отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы. |
| cos(z) |
Возвращает косинус z. В прямоугольном треугольнике это — отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы. |
| tan(z) |
Возвращает (sin(z)/cos(z)), тангенс z. В прямоугольном треугольнике это — отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета; z не должен быть кратным p/2. |
| csc(z) |
Возвращает 1/sin(z), косеканс z; z не должен быть кратным p. |
| sec(z) |
Возвращает 1/cos(z), секанс z; z не должен быть кратным p/2. |
| cot(z) |
Возвращает 1/tan(z), котангенс z; z не должен быть кратным p. |
Обратные тригонометрические функции, приведенные ниже, возвращают угол в радианах между 0 и 2p. Чтобы преобразовать этот результат в градусы, можно также пользоваться встроенной единицей deg или напечатать deg в поле единиц.
Из-за ошибок округления, свойственных машинной арифметике, в результате вычисления atan достаточно большого числа получается значение . Как правило, лучше всего избегать численных вычислений около таких особенностей.
| asin(z) |
Возвращает угол (в радианах), чей синус — z. |
| acos(z) |
Возвращает угол (в радианах), чей косинус — z. |
| atan(z) |
Возвращает угол (в радианах), чей тангенс — z. |
Гиперболические функции
Гиперболические функции sinh и cosh определяются формулами:
Эти функции также могут использовать комплексный аргумент и возвращать комплексные значения. Гиперболические функции тесно связаны с тригонометрическими функциями. Справедливы формулы:
sinh(i z)=isin(z)cosh(iz)=cos(z)
| sinh (z) |
Возвращает гиперболический синус z. |
| cosh (z) |
Возвращает гиперболический косинус z. |
| tanh (z) |
Возвращает sinh(z)/cosh(z), гиперболический тангенс z. |
| csch (z) |
Возвращает 1/sinh(z), гиперболический косеканс z. |
| sech (z) |
Возвращает 1/cosh(z), гиперболический секанс z. |
| coth (z) |
Возвращает 1/tanh(z), гиперболический котангенс z. |
| asinh (z) |
Возвращает число, чей гиперболический синус — z. |
| acosh (z) |
Возвращает число, чей гиперболический косинус — z. |
| atanh (z) |
Возвращает число, чей гиперболический тангенс — z. |
Логарифмические и показательные функции
Логарифмические и показательные функции Mathcad могут использовать комплексный аргумент и возвращать комплексные значения. Значения экспоненциальной функции для комплексного аргумента вычисляются с применением формулы
ex+iy=ex(cos(y) + isin(y))
Вообще говоря, значения натурального логарифма даются формулой
ln(x + iy)=ln|x + iy|+ atan(y/x)i + 2npi
В Mathcad функция ln возвращает значение, соответствующее n = 0. А именно:
ln(x + iy)=ln|x + iy|+ atan(y/x)i
Оно называется основным значением логарифма. Рисунок 1 иллюстрирует некоторые основные свойства логарифма.
| exp(z) |
Возвращает e в степени z. |
| ln(z) |
Возвращает натуральный логарифм z. (z 0). |
| log(z) |
Возвращает логарифм z по основанию 10. (z0). |
На Рисунке 1 показано, как можно использовать эти функции для вычисления логарифма по любому основанию.
Рисунок 1: Использование логарифмических функций.
Функции Бесселя
Эти функции обычно возникают как решения для волнового уравнения, подчиненного цилиндрическим граничным условиям.
Функции Бесселя первого и второго рода, Jn(x) и Yn(x), являются решениями для дифференциального уравнения
Модифицированные функции Бесселя первого и второго рода, In(x) и Kn(x), являются решениями для немного видоизмененного уравнения:
| J0(x) |
Возвращает J0(x); x вещественный. |
| J1(x) |
Возвращает J1(x); x вещественный. |
| Jn(m, x) |
Возвращает Jn(x); x вещественный, 0 m100. |
| Y0(x) |
Возвращает Y0(x); x вещественный, x > 0. |
| Y1(x) |
Возвращает Y1(x); x вещественный, x > 0. |
| Yn(m, x) |
Возвращает Yn(x). x > 0, 0m100 |
| I0(x) |
Возвращает I0(x); x вещественный. |
| I1(x) |
Возвращает I1(x); x вещественный. |
| In(m, x) |
Возвращает In(x); x вещественный, 0m100. |
| K0(x) |
Возвращает K0(x); x вещественный, x > 0. |
| K1(x) |
Возвращает K1(x); x вещественный, x > 0. |
| Kn(m, x) |
Возвращает Kn(x). x > 0, 0m100 |
Специальные функции
Следующие функции возникают в широком круге задач.
| erf(x) |
Возвращает значение интеграла ошибок в x:
x должен быть вещественным.
|
| G(z) |
Возвращает значение эйлеровой гамма-функции в z. Для вещественного z значения этой функции совпадают со следующим интегралом:
Для комплексных z значения — аналитическое продолжение вещественной функции. Гамма-функция Эйлера неопределена для z= 0,-1,-2, ...
Гамма-функция Эйлера удовлетворяет рекуррентному соотношению
Г(z +1) = zГ(z)
Откуда следует для положительных целых z:
Г(z +1) = z!.
Интеграл ошибок часто возникает в статистике. Он может также быть использован для определения дополнения интеграла ошибок по формуле:
erfc(x) := 1 - erf(x)
|
|
