Вернуться на страницу <Методические разработки>
В начало | Л.р.1 | Л.р.2 | Л.р.4 | Л.р.5 | Л.р.6 | Л.р.7 | Л.р.8

Лабораторная работа 3
Интерполяция и предсказание

Интерполяция ~ Предсказание ~ Порядок выполнения работы

Аппроксимация функций заключается в приближенной замене заданной функции f(x) некоторой функцией j (x) так, чтобы отклонение функции j (x) от f(x) в заданной области было наименьшим. Функция j (х) при этом называется аппроксимирующей. Типичной задачей аппроксимации функций является задача интерполяции. Необходимость интерполяции функций в основном связана с двумя причинами:

1. Функция f(x) имеет сложное аналитическое описание, вызывающее определенные трудности при его использовании (например, f(x) является спецфункцией: гамма-функцией, эллиптической функцией и др.).
2. Аналитическое описание функции f(x) неизвестно, т.е. f(x) задана таблично. При этом необходимо иметь аналитическое описание приближенно представляющее f(x) (например, для вычисления: значений f(x) в произвольных точках, определения интегралов и производных от f(x) и т. п.)

Интерполяция

Простейшая задача интерполяции заключается в следующем. Для заданных n + 1 точек x_i = х₀, х₁, . . ., х_n, которые называются узлами интерполяции, и значений в этих точках некоторой функции f(x_i) = y₀, y₁, . . ., y_n построить полином j (х) (интерполяционный полином) степени n вида

(1)

принимающий в узлах интерполяции х_i те же значения y_i, что и функция f(x_i):

i = 0, 1, ..., n.

(2)

Глобальная интерполяция

Простейшим видом глобальной интерполяции является параболическая интерполяция, когда, используя описанные выше условия (2), для отыскания неизвестных n + 1 коэффициентов а₀, а₁, . . ., а_n выражения (1) получают систему из n + 1 уравнений:

.

(3)

Интерполяционная формула Лагранжа:

(4)

Для построения интерполяционной формулы Лагранжа в Mathcad удобно использовать функцию if

Часто интерполирование ведется для функций, заданных таблично с равноотстоящими значениями аргумента (h_i = x_i+1 - x_i = const). Введем предварительно понятие конечных разностей:

С учетом введенных обозначений первая интерполяционная формула Ньютона имеет вид:

(5)

Вторая интерполяционная формула имеет вид:

(6)

Однако, интерполяция при большом числе узлов приводит к необходимости работать с многочленами высокой степени (например, 50-й или даже 100-й), что неприемлемо как с точки зрения вычислений, так и из-за склонности таких многочленов к осцилляции (колебаниям) между узлами сетки. Поэтому на практике часто используют интерполяцию кусочными многочленами (или локальную интерполяцию).

Локальная интерполяция

При локальной интерполяции между различными узлами выбираются различные многочлены невысокой степени. В среде Mathcad есть для этого инструментарий: средства линейной интерполяции (функция linterp) и интерполяции сплайном (функция interp) - линейным (lspline), параболическим (pspline) и кубическим (cspline). Рисунок 4 показывает некоторые примеры локальной интерполяции.

Рисунок 4. Локальная интерполяция

Предсказание

Если необходимо оценить значения функции в точках не принадлежащих отрезку [x₀, x_n], используйте функцию predict (Рисунок 5).

Рисунок 5. Экстраполяция функций

Порядок выполнения лабораторной работы 3

Задание 1. Вычислить значения заданной функции у_i = f(x_i) в узлах интерполяции х_i = a + h i, где h = (b - a)/10, i = 0, 1, ..., 10, на отрезке [a, b].

Варианты заданий

№ варианта	f(x)	[a, b]	№ варианта	f(x)	[a, b]
1		[0, 2]	9		[1, 5]
2		[0, 2]	10		[1, 5]
3		[0, 5]	11		[0, 3]
4	1/(0.5 + x2)	[0, 2]	12		[0, 2]
5	e -(x + sin x)	[2, 5]	13	cos(x + e cos x)	[3, 6]
6	1/(1 + e -x)	[0, 4]	14		[0, 1]
7	sin(x + e sin x)	[0, 3]	15	e cos x? cos x2	[0, 2]
8	e -(x + 1/x)	[1, 3]

Задание 2. По вычисленной таблице (x_i, y_i) провести параболическую интерполяцию.

Для нахождения коэффициентов искомого полинома (1) необходимо составить систему линейных алгебраических уравнений (3).

Построить график интерполяционного многочлена и отметить на нем узловые точки (x_i, y_i).

Задание 3. Для вычисленной табличной функции составить формулу интерполяционного многочлена Лагранжа, используя операторы суммирования и перемножения по дискретному аргументу, а также функцию if.

Построить график интерполяционного многочлена и отметить на нем узловые точки (x_i, y_i).

Задание 4. Провести интерполирование заданной функции с помощью 1^ой и 2^ой интерполяционных формул Ньютона.

Построить графики интерполяционных многочленов и отметить на нем узловые точки (x_i, y_i).

Задание 5. Провести линейную интерполяцию заданной функции с помощью встроенной интерполяционной функции linterp.

Построить график функции linterp и отметить на нем узловые точки (x_i, y_i).

Задание 6. Провести сплайн-интерполяцию с помощью функций lspline, pspline, сspline и interp.

Построить график функции interp и отметить на нем узловые точки (x_i, y_i).

Задание 7. Вычислить значения заданной функции у_i = f(x_i) в точках х_i = a + i/10, где, i = 0, 1, ..., 10(b - a), на отрезке [a, b].

С использованием функции predict выполнить предсказание (экстраполяцию) полученного вектора данных y_i в последующих 10 точках по последним 7 значениям функции.

Отобразить графически имеющиеся данные, предсказанные данные и истинный вид функции f(x).

Решение в Mathcad

В начало | Л.р.1 | Л.р.2 | Л.р.4 | Л.р.5 | Л.р.6 | Л.р.7 | Л.р.8

Вернуться на страницу <Методические разработки>