Вернуться на страницу <Методические разработки>
В начало | Л.р.1 | Л.р.2 | Л.р.3 | Л.р.4 | Л.р.5 | Л.р.6 | Л.р.7 | Л.р.8

Лабораторная работа 7
Решение дифференциальных уравнений в частных производных

Метод конечных разностей~ Гиперболические уравнения в частных производных ~ Параболические уравнения в частных производных ~ Эллиптические уравнения в частных производных ~ Порядок выполнения лабораторной работы 7

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых искомая величина зависит от нескольких переменных. В этом случае решаемые уравнения содержат частные производные и называются дифференциальными уравнениями в частных производных. К сожалению, очень многие из таких уравнений не имеют аналитического решения, и чтобы решить их, приходиться прибегать к численным методам. Для решения дифференциальных уравнений в частных производных численно используется метод конечных разностей.

Метод конечных разностей

Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных методом конечных разностей состоит в следующем:

1. Построение в области решения равномерной сетки, содержащей n узловых точек (Рисунок 12).

   

   Рисунок 12. Двумерная сетка

    

2. Представление производных в конечно-разностной форме:

, ,

(1)

, и т. д.,

где f _i,  j, f _{i + 1,  j}, f _{i - 1,  j}, f _{i ,  j + 1}, f _{i,  j  -  1} - значения функции f(x, y) в точках (x_i, y_j), (x_i + h, y_j), (x_i - h, y_j), (x_i, y_j + l), (x_i, y_j - l) соответственно.

Такие разностные уравнения записывают для всех узлов сетки и получают в результате систему из n уравнений с n неизвестными.

3. Решение полученной системы с целью получения приближённого решения в узлах сетки.

Гиперболические уравнения в частных производных

Простейшим видом уравнения гиперболического типа является волновое уравнение. К исследованию волнового уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала и т. п.

Рассмотрим одномерное уравнение колебаний струны. В области требуется найти решение уравнения:

,

(2)

Искомая функция u(x, t) должна удовлетворять начальным условиям, описывающим начальную (t = 0) форму струны j (x) и скорость её точек y (x):

, , 0 x l

(3)

и граничным условиям, указывающим, что происходит на концах струны (х = 0 и х = l):

, , 0 tT.

(4)

Совокупность начальных и граничных условий называется краевыми условиями.

Для построения разностной схемы решения задачи (2) - (4) построим в области сетку x_i = i h, i = 0, 1, ..., n, l = h  n, t_j = j t , j = 0, 1, ..., m, T= t   m и аппроксимируем уравнение (2) в каждом внутреннем узле сетки на шаблоне “крест” (Рисунок 13).

Рисунок 13. . Шаблон для волнового уравнения

Используя для аппроксимации частных производных выражения (1), получаем следующую разностную аппроксимацию уравнения (2):

.

(5)

Решая уравнение (6) относительно единственного неизвестного значения , получаем следующую схему:

, l = а2t 2 / h2, i = 1, ..., n - 1, j = 1, ..., m - 1.

(6)

Схема (6) называется трехслойной потому, что связывает между собой значения функции u(x, t) на трех временных слоях с номерами: j - 1, j, j + 1. Схема (6) является явной, т.е. позволяет в явном виде выразить через значения u с предыдущих двух слоев.

Для начала счета по схеме (6) необходимы значения функции u(x, t) на нулевом (j = 0) и первом (j = 1) временных слоях. Они определяются начальными условиями (3) и записываются в виде:

, , i = 0, 1, ..., n.

(7)

Граничные условия (4) также записываются в сеточном виде:

, , j = 0, 1, ..., m.

(8)

Таким образом, решение исходной дифференциальной задачи (2) - (4) сводится к решению разностной задачи (6) - (8).

Схема устойчива, если выполнено условие Куранта .

Параболические уравнения в частных производных

Простейшим видом уравнения параболического типа является уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье. К исследованию уравнения теплопроводности, или уравнения Фурье, приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, некоторые вопросы теории вероятностей.

Рассмотрим задачу о распространении тепла в однородном стержне длины l, на концах которого поддерживается заданный температурный режим. Задача состоит в отыскании функции u(x, t), удовлетворяющей в области {} уравнению

(9)

начальному условию

(10)

и граничным условиям

(11)

Рисунок 14. Шаблон для уравнения теплопроводности

Построим в области равномерную прямоугольную сетку с шагом h в направлении х и шагом t - в направлении t (Рисунок 14). Тогда x_i = i h, i = 0,1, ..., n, h = l / n; t_j = j t , j = 0,1, ..., m, t =T / m .

Аппроксимируем дифференциальную задачу (9) - (11) на четырехточечном шаблоне, в результате получаем явную двухслойную разностную схему:

i = 1, 2, ..., n - 1, j = 0, 1, ..., m - 1 , i = 0, 1, ..., n, , , j = 0, 1, ..., m, .

(12)

Схема устойчива при l 1/2.

Эллиптические уравнения в частных производных

К исследованию такого уравнения приводит рассмотрение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики, диффузии и т. д. Рассмотрим решения уравнения Пуассона и его однородной формы - уравнения Лапласа.

Решение уравнения Пуассона будем искать в некоторой ограниченной области W = изменения независимых переменных x, y:

(13)

Граничные условия:

где f, m₁, m₂, m₃, m₄ - заданные функции (задача, состоящая в решении эллиптического уравнения при заданных значениях искомой функции на границе расчётной области, называется задачей Дирихле.).

Построим в области W равномерную прямоугольную сетку с шагами h и l по х и y соответственно: x_i = i h, i = 0, 1, ..., n, h = q₁ / n; y_j = j l, j = 0, 1, ..., m, l=q ₂ /m .

Аппроксимируем дифференциальную задачу (13) - (14) на шаблоне “крест” (Рисунок 13), в результате получаем неявную трехслойную разностную схему:

,

(15)

Для решения уравнения Пуассона в Mathcad используется функция relax

При f = 0 получаем уравнение Лапласа:

(16)

Если для уравнения Лапласа в области W ввести сетку с равным шагом по осям х и y, то разностная схема (16) существенно упрощается

,

(17)

Решение уравнения Лапласа с помощью функции relax показано на Рисунке 15.

Рисунок 15. Решение уравнения Лапласа

Порядок выполнения лабораторной работы 7

Задание 1. Решить задачу о колебании струны единичной длины с закрепленными концами:

, a = 1

с начальными условиями

u(x, 0) = f(x), , 0  x  1

и нулевыми граничными условиями

u(0, t) = u(1, t) =0.

Варианты задания 1

№ варианта	f(x)	a	b		№ варианта	f(x)	a	b	c
1		1	0.1	9		x sin ( 2 ( x - 1 ) )
2		2	0.1	10		4 x 3 ( x - 1 )
3		4	0.2	11			1	0.1	0.2
4		6	0.3	12			3	0.2	0.4
5		8	0.4	13			5	0.4	0.6
6	x ( x 2 - 1)			14			7	0.6	0.8
7	sin ( p x 2 )			15			9	0.8	0.9
8	sin ( p x ) cos x

Для решения задачи построить сетку из 11 узлов по x (i = 0, 1, ... 10) и провести вычисления для 16 слоев по t (j = 0, 1, ... 16). Вычисления выполнить с шагом h по х, равным 0.1 и шагом t по t, равным 0.05. Отобразить графически решение задачи на 0-ом, 5-ом, 10-ом и 16-ом временных слоях.

Задание 2. Найти решение u(х, t) для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами:

, a = 1

с начальными условиями

u(x, 0) = f(х) 0   x   1

и граничными условиями

u(0, t) = a, u(1, t) = b.

Для решения задачи построить сетку из 11 узлов по x (i = 0, 1, ... 10) и провести вычисления для 12 слоев по t (j = 0, 1, ... 12). Вычисления выполнить с шагом h по х, равным 0.1 и шагом t по t, равным 0.005. Отобразить графически решение задачи на 0-ом, 4-ом, 8-ом и 12-ом слоях и построить интегральную поверхность распределения температуры в стержне с помощью команды Graphics Ю Create Surface Plot.

Варианты задания 2

Задание 3. Найти стационарное распределение температуры в квадратной пластине со стороной 1, описываемое уравнением Лапласа

с краевыми условиями вида

u(0, y) = f₁(y), (0   y   1), u(1, y) = f₂(y), (0   y   1),

u(x, 0) = f₃(x), (0   x  1), u(x, 1) = f₄(x), (0   x   1).

Решать задачу с помощью функции relax.

Для решения задачи построить сетку из 11 узлов по x (i = 0, 1, ... 10) и из 11 узлов по y (j = 0, 1, ... 10). Отобразить графически с помощью команды Graphics Ю Create Contour Plot стационарное распределение температуры в пластине.

Варианты задания 3

Решение в Mathcad

В начало | Л.р.1 | Л.р.2 | Л.р.3 | Л.р.4 | Л.р.5 | Л.р.6 | Л.р.7 | Л.р.8

Вернуться на страницу <Методические разработки>