Архив разработки (115 кб, Matlab, Word)

 Cодержание

1. Введение
2. Гармонические вейвлеты
3. Вейвлет-Галеркина метод решения уравнения Бюргерса
4. Численные расчеты
5. Заключение
6. Литература

Введение

В последние годы использование кратномасштабного анализа и вейвлетов стало очень популярным при разработке численных схем для решений дифференциальных уравнений в частных производных(PDE). В этой работе используются комплексные гармонические вейвлеты как базисные функции в методе Галеркина для уравнения Бюргерса. Хотя гармонические вейвлеты плохо локализованы в пространстве (с амплитудой |y|, которые убывают как x^-1 на бесконечности), они не пересекаются в спектральном пространстве, что делает их особенно полезными в изучении локальных взаимодействий в волновом пространстве. Целью работы является не получение новых знаний об уравнении Бюргерса. Мы просто хотим предоставить пример использования такого базиса для метода Галеркина.

Гармонические вейвлеты

Рассмотрим комплекснозначный базис Литтлвуда-Пэйли, определенный при помощи материнского вейвлета:

(1)

Ортонормированный базис можно сконструировать ортонормированный базис сдвигом и расширением материнского вейвлета, где j - масштабный коэффициент, а k - коэффициент сдвига. В итоге базис имеет вид:

, для , и =0 в других случаях, (2)

Важнейшим шагом в конструировании алгоритма является периодизация вейвлета. Периодические вейвлеты могут быть сконструированы при помощи стандартной процедуры:

(3)

на единичном отрезке. При этом все свойства вейвлетов переходят на их периодические копии. Из (3) получаем периодические вейвлеты:

(4)

где j=0,…,r и k=0,…,2^j-1. Рисунок 1. изображает действительную и мнимую части периодических гармонических вейвлетов .

a)b)c)

d)           Рисунок 1. Действительная и мнимая части периодических гармонических вейвлетов a) , b) , c) , d) .

Интересно заметить, что (4) имеет вид, подобный Фурье-преобразованию и поэтому для него справедливы большинство свойств преобразования Фурье. Определив дискретное вейвлет преобразование как {f_l}:

(5)

где , есть дискретный 1-периодический гармонический вейвлет (per отброшено для удобства), и коэффициенты выглядят:

(6)

где {F}-коэффициенты Фурье для {f}. Заметим, что a_N-s=ã_s, кроме случаев a₀ и a_N/2, которые всегда являются действительными. Это свойство позволяет разработать эффективный и простой параллельный алгоритм, основанный на FFT, для подсчета коэффициентов вейвлетов.

В начало

Далее