Архив работы (27 кб, Word, Mathcad)

Цель работы: Построить кривые, аппроксимирующие с заданной точностью исходные данные.

В качестве исходных данных даны суммы выручки от реализации продукции за месяц. Данные суммы представлены в виде вектора U, состоящего из 12 элементов (за год).

Рассматриваемый процесс имеет моменты пиков и спадов. Это объясняется тем что, производство нестабильно, так как в какой-то мере определяется потребностями клиентов, а значит, отражает колебания спроса. В связи с этим удобней будет работать с аппроксимированными параметрами модели.

Аппроксимацию выполним методом наименьших квадратов.

Пусть …, - последовательность линейно-независимых функций на [a,b]. Аппроксимирующую функцию будем представлять в виде:

(1)

где - неизвестные параметры.

Тогда, согласно методу наименьших квадратов, функционал J, имеющий смысл суммы квадратов отклонений функций и в заданных точках запишется в виде:

(2)

и параметры будем выбирать из условия минимума этого функционала, т.е.

(3) , j=1,n.

(4)

или

(5) , j=1,n

Последнее выражение можно записать в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров .

(6)

или в матричной форме:

(7),

где A – симметрическая матрица порядка n, - n мерный вектор-столбец свободных членов, - n мерный вектор-столбец неизвестных параметров, т.е.

(8) ,

(9) ,

(10)

Таким образом, задача нахождения параметров аппроксимирующей функции (1.3.3.1) свелась к решению системы линейных алгебраических уравнений (7) и в дальнейшем можно действовать двумя способами: либо искать решение системы (4), либо находить матрицу , обратную матрице A, тогда

(11)

В большинстве случаев (в зависимости от вида конкретных матриц) при аппроксимации удобно придерживаться второго пути. В качестве последовательности …, - взяты величины:. В файле Sample находится пример программной реализации данного алгоритма полиномами 6-й степени для конкретных данных (12 точек), аппроксимируя их с шагом 0,03(3) (360 точек).

 

Литература:

1. Березин И.С., Жидков Н.А. Методы вычислений. Т.2. – М.: Наука, 1966.
2. Решетникова Г.Н., Краснов И.Ю. Локально – оптимальное управление темпом производства продукции //Материалы Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование". Анжеро-Судженск. 15 ноября 2002. - Томск: "Твердыня", 2002. – С. 278 - 280.
3. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т.2. – М.: Наука, 1976.

Наверх