Архив работы (239 кб, Word, Excel, Mathcad)

Задание 1.

Подобрать значения параметров (p, w, q), при которых приведенная ниже система линейных уравнений будет иметь:

1. Единственное решение. Указать полученное при этих параметрах решение.

2. Бесконечно много решений. Указать в параметрическом виде все решения, при этом наборе параметров.

3. Будет несовместной.

1. Система уравнений имеет единственное решение в том случае, если ранг матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, равен рангу расширенной матрицы, а также числу неизвестных (значения p, w, q в данном случае легко подобрать методом научного тыка):

Составим матрицы и подсчитаем ранги, изменяя параметры p,w и q, добьемся того, чтобы они оказались равными:

Подставим подобранные значения в уравнения и найдем решение системы:

Каждой переменной соответствует одно число. Значит, система имеет единственное решение.

2.Система имеет множество решений в том случае, когда ранг матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, равен рангу расширенной матрицы, но меньше числа неизвестных (значения p, w и q в данном случае находим, приравнивая определитель матрица А к нулю):

При p=29/32, w=0 ранг матрицы равен:

Затем подставим эти параметры (значение q на решение не влияет) в уравнения и выразим в виде зависимости двух переменных от третьей множество решений системы:

Так как переменные x и y зависят от переменной z, которая может иметь бесконечно много значений, то система имеет множество решений.

3. Система не имеет решений в том случае, если ранг матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, не равен рангу расширенной матрицы (параметры p, w и q находим, приравнивая определители матриц к нулю и решая их одновременно):

Подставляя полученные параметры в систему, получим:

В этом случае, как и в первом, MATHCAD не находит решения (так как при заданных параметрах система несовместна).

Задание 2.

Подобрать значения параметров (a, b, c; a>0), при которых приведенная ниже система уравнений будет совместна и будет иметь максимально возможное количество пар (x, y), являющихся ее решением. Найти численно и аналитически (если это возможно) решение системы при этих параметрах. Представить чертеж.

y=x²+b*x+c,  a*x²+y=1

Решение: Анализируя уравнения можно увидеть, что графики данных функций - параболы, ветви которых направлены в разные стороны (у первой вверх, а у второй - вниз) при любых параметрах, удовлетворяющих условию. Это значит, что данная система в лучшем случае имеет 2 решения (2 точки пересечения графиков). MATHCAD позволяет построить графики сразу двух функций и, методом, названным выше, добиться того, чтобы они пересеклись 2 раза:

Чтобы найти решения системы, приравняем функции друг к другу, перенесем все в левую часть получившегося уравнения и, при помощи оператора SOLVE, получим значения x1 и x2 решений системы:

Затем, подставим полученные значения в любую данную функцию (пусть это будет f(x)):

Ответ: графики данных функций пересекаются в двух точках M1(0.653;-3.267) и M2(-0.835;-5.973) при значении параметров a, b, c соответственно 10, 2, 5.

Задание 3.

Подобрать значения параметров (a, b, c, d), при которых система уравнений y=a*x³+b*x²+c*x+d,  x²+y²=10 будет совместна и будет иметь максимально возможное количество пар точек (x, y), являющихся ее решением. Найти численно все решение системы при этих параметрах. Представить чертеж.

Решение: Анализируя данную систему, заметим, что график функции x²+y²=10 - окружность радиусом r=, а график функции y=a*x²+b*x²+c*x+d - кривая, за кривизну которой отвечают параметры (a, b, c, d). Изучив влияние параметров на форму кривой, подберем такие значения параметров, при которых данная кривая пересекает окружность максимальное количество раз. Как видно из графика, производная функции на всем множестве значений x только 2 раза меняет знак. Значит, может существовать только 3 относительно параллельных, относительно вертикальных линии. То есть, 3 раза данная функция может пересечь окружность, а любая прямая, пересекающая окружность (кроме касательной), пересекает ее в двух точках. Значит, система имеет (максимум) 6 решений (прим. - так как MATHCAD считает корень только, как положительный, функцию y=±-x² придется разбить на две функции - f(x)= +-x² и g(x)=--x²):

Приравняем уравнения друг к другу и при помощи оператора SOLVE найдем значения шести решений, а потом подставим их в уравнения и найдем значения функций в этих точках:

Для проверки подставим полученные значения во вторую функцию, учитывая ее разбиение на две функции (значения будем подставлять исходя из того, какую половину окружности пересекает кривая, если верхнюю - будем подставлять в f(x), в противном случае - в d(x)):

Ответ: данная система имеет максимально возможное количество решений (6) при параметрах a:=3, b:=9, c:=2, d:=-5.

Задание 4.

Найти значение параметра p, при котором приведенная ниже система линейных уравнений будет иметь максимально возможное значение суммы x+y+z, где x, y, z - решения системы.
x+y+p*z=12   x+2*y+2*z=10   p*x+3*y+(1-p)*z=12 Построить графики зависимостей x(p), y(p), z(p).

Решение: Выразим переменные:

Найдем сумму переменных:

Чтобы найти максимальное значение суммы, выразим ее производную

и, через вторую производную

найдем точки перегиба графика суммы

Известно, что максимум функции находится в точке, в которой производная функции равна нулю, а вторая производная отрицательна:

значение f2(p1) отрицательно, значит, в этой точке находится максимум функции суммы. Проверим:

Ответ: максимальное значение суммы переменных (12.094) получается при параметре p=1.141.

Задание 5.

Задача С7 из сборника заданий по теоретической механике под редакцией А. А. Яблонского. Дано:

Найти реакции опор А и В (Ra, Rb).

Решение: Так как опоры - скользящие шарниры, то реакции по оси y не будет. Значит, найти нужно лишь 4 неизвестных: Xa, Ya, Xb, Yb. Предположим, что они направлены вдоль осей (т. е. положительны).

Выразим суммы моментов на оси x, y, z относительно точки А, точки В, сумму проекций сил на ось z и дадим команду найти неизвестные:

Из полученного ответа выберем силы, входящие в искомые реакции и найдем их точные значения:

Так как реакций по оси y нет, то результирующие реакции будут следующими:

Нанесем полученные силы на рисунок, учитывая направления:

Ответ:

Задача регрессии.

Задача регрессии: провести линию ( а)прямую; б)параболу ) так, чтобы сумма квадратов расстояний по оси Y от данных точек до этой линии была минимальной. Определить, какая линия лучше описывает процесс, в результате которого были получены точки.

В ходе некоторых опытов получены точки. Нашей задачей является построение линии, такой, чтобы сумма квадратов расстояний по оси Y оказалась минимальной. Построить две таких линии. По уравнениям:

1. Y=A*X+B; 2. Y=A*X²+B*X+C

А) При произвольных значениях коэффициентов рассчитаем по формуле Y=A*X+B значения Y.

Воспользуемся оператором "СУММКВРАЗН". Зададим разность между Yф - фактическими значениями и Yр лин - расчетными значениями (прим.: лин. - для линейной функции). Открыв диалоговое окно "поиск решения", зададим параметры поиска:

1) Минимальное значение целевой ячейки.

2) Изменяя ячейки (задаем ячейки, содержащие значения коэффициентов a и b).

Так как для расчета значений Y задана формула a*x+b, то значения Yр лин автоматически изменятся.

Получились значения

Построим по полученным значениям линию:

Так как при проведении опытов получился некоторый разброс, то нужно определить погрешность измерений.

Диапазон, в который попали все результаты опытов на графике можно показать еще двумя прямыми, проходящими через точки с наибольшим отклонением с тем же наклоном, что и основная линия (т. е. коэффициенты a для этих линий должны быть равны).

Формула, по которой рассчитываются эти прямые такова: y=a*x+b+y, где y - максимальное отклонение точки от прямой.

Видно, что максимальное отклонение в точке x=12. Построим прямые, с отклонением по оси Y на 4.5878.

Для проверки воспользуемся встроенной функцией EXCEL. Построим новый график, проведем на нем линию тренда с указанием уравнения на диаграмме:

Так как коэффициенты совпали, значит, полученное решение верно. При этом наименьшая сумма квадратов расстояний равна 73,95152.

Б) Построим подобный график по формуле: y=a*x²+b*x+c. Проведем подобные расчеты и получим следующие цифры:

При решении получены значения:

Как видно из этой таблицы максимальное отклонение точки от графика находится в точке x=10.

Построим график:

Точно так же, как и в первом случае, построим на новом графике линию тренда (только не линейную, а полиномиальную со степенью 2):

Значения коэффициентов совпали. Задача решена верно. В этом случае наименьшая сумма квадратов равна 59,94394.

Вывод: так как во втором случае сумма квадратов расстояний меньше, то вторая линия лучше описывает процесс, в результате которого получены исходные точки.

Наверх