|
Вернуться на страницу <Методические разработки>
Архив разработки  (17 Кб, Mathcad, Word)
Цель работы: научиться строить кривые методом наименьших квадратов при помощи построения псевдообратной матрицы.
Теоретическое введение.
При обработке экспериментальных (или статистических) данных часто требуется проводить кривые заданного вида, проходящие поблизости от заданных точек.
Пусть мы имеем набор экспериментальных точек (xi, yi), i = 1, 2, …, m, причем xi ¹ xj при i ¹ j и значения yi содержат ошибки измерения. Мы хотим через данные точки провести кривую F(x), которая является линейной комбинацией заранее выбранных базисных функций fj(x), j = 1, 2, …, n. Другими словами,
 .
Как правило, n << m. Коэффициенты cj необходимо определить, выбрав определенный критерий для сравнения функций. Рассмотрим критерий, называемый методом наименьших квадратов [1]. Построим матрицу значений базисных функций в заданных точках
 .
Матрица А, как правило, не будет квадратной матрицей. Пусть с – вектор из п искомых коэффициентов. Тогда можно построить вектор из т значений, через которые проходит данная кривая:
 .
Потребуем, чтобы коэффициенты вектора c определялись минимумом "расстояния" между векторами y и у*, т.е. чтобы было выполнено условие
 (1)
(отсюда и название метода).
Как правило, в литературе выводятся формулы для случая линейного и квадратичного приближения. Следуя [1], мы рассмотрим более общий алгоритм, пригодный для любого выбора базисных функций.
Чтобы найти минимум функции (1), необходимо продифференцировать ее по всем переменным ск и приравнять соответствующие производные нулю. Тогда мы получим систему уравнений, которую можно записать в виде
 , к = 1, 2, …, п.
Эту систему из п уравнений можно записать в виде матричного уравнения
(Ас – у)ТА = 0,
которое эквивалентно уравнению
АТ(Ас – у) = 0,
или
АТАс = АТу. (3)
Полученное уравнение в математической статистике называется нормальным уравнением. Очевидно, что матрица АТА является симметрической и, согласно теории матриц, если ее столбцы являются линейно независимыми, существует обратная матрица (АТА)-1. Тогда решение системы (3) относительно неизвестного вектора с является единственным и выражается формулой
с = ((АТА)-1АТ)у = А+у.
Матрица А+ = (АТА)-1АТ называется псевдообратной матрицей по аналогии с обратной матрицей для систем алгебраических линейных уравнений.
В файле Example находится пример построения приближения вида
F(x) = c1 + c2xlog2x + c3ex .
по точкам (1, 1), (2, 1), (3, 3), (4, 8), а также построен график функции F(x) и нанесены исходные точки. Очевидно, что в качестве базисных функций выбраны функции 1, xlog2x, ex .
Литература.
1. Т.Кормен, Ч.Лейзерсон, Р.Ривест. Алгоритмы: построение и анализ. М.:МЦНМО, 2001. С.706.
Задание.
Найти оценки для параметров модели y=b 0 + b 1x + b 2x2.
1.
|
x
|
0.5
|
1.0
|
1.5
|
2.0
|
2.5
|
3.0
|
3.5
|
4.0
|
|
y
|
0.4
|
0.3
|
1.0
|
1.7
|
2.1
|
3.4
|
4.1
|
5.8
|
2.
|
x
|
4.5
|
5.0
|
5.5
|
6.0
|
6.5
|
7.0
|
7.5
|
8.0
|
|
y
|
7.7
|
9.4
|
11.4
|
13.6
|
15.6
|
18.6
|
21.2
|
24.1
|
3.
|
x
|
0.4
|
0.8
|
1.2
|
1.6
|
2.0
|
2.4
|
2.8
|
3.2
|
3.6
|
|
y
|
0.43
|
0.94
|
1.91
|
3.01
|
4.0
|
4.56
|
6.45
|
8.59
|
11.15
|
4.
|
x
|
4.0
|
4.4
|
4.8
|
5.2
|
5.6
|
6.0
|
6.4
|
6.8
|
|
y
|
13.88
|
16.93
|
20.47
|
24.15
|
28.29
|
32.61
|
37.41
|
42.39
|
Найти оценки для параметров модели y=b 0 + b 1x.
5.
|
x
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
y
|
2.11
|
2.45
|
2.61
|
2.73
|
2.75
|
2.81
|
6.
|
x
|
0.3
|
0.6
|
0.9
|
1.2
|
1.5
|
1.8
|
|
y
|
4.39
|
4.75
|
4.98
|
5.11
|
5.12
|
5.18
|
Найти оценки для параметров модели y=b 0 + b 1exp(0.1x).
7.
|
x
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
y
|
0.1
|
0.21
|
0.43
|
0.51
|
0.62
|
0.81
|
8.
|
x
|
1.0
|
1.5
|
2.0
|
2.5
|
3.0
|
3.5
|
4.0
|
|
y
|
4.11
|
4.16
|
4.23
|
4.29
|
4.36
|
4.42
|
4.53
|
Найти оценки для параметров модели y=b 0 + b 1sinx + b 2cosx.
9.
|
x
|
0.5
|
1.0
|
1.5
|
2.0
|
2.5
|
3.0
|
3.5
|
4.0
|
|
y
|
2.47
|
2.86
|
3.01
|
2.91
|
2.55
|
2.11
|
2.61
|
1.25
|
В начало
Вернуться на страницу <Методические разработки>
|
