Определенный интеграл, его геометрический смысл ~Формула Ньютона-Лейбница ~ Методы вычисления определенного интеграла 

Определенный интеграл, его геометрический смысл.

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке . Разобьем промежуток на  произвольных частей точками  и обозначим , , . На каждом промежутке   возьмем произвольную точку и вычислим в ней значение функции. Выражение  называется интегральной суммой функции на  .Если при существует и конечен предел последовательности частичных сумм  , не зависящий ни от способа разбиения промежутка точками  , ни от выбора , то этот предел называют определенным интегралом от функции по промежутку , а саму функцию — интегрируемой на . Обозначают    .

Из приведенного определения естественно следует геометрический смысл определенного интеграла: если , то  равен площади фигуры, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и прямыми .

ПРИМЕР 1.  Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы.

Формула Ньютона-Лейбница.

Значение определенного интеграла может быть вычислено по формуле Ньютона-Лейбница =, здесь символ  означает, что из значения при верхнем пределе b нужно вычесть значение при нижнем пределе a , — первообразная функция для . Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению первообразной, то есть неопределенного интеграла.

ПРИМЕР 2.  Вычисление определенного интеграла.

Методы вычисления определенного интеграла.

Если — непрерывно дифференцируемая на отрезке функция, , и , когда изменяется на , то, положив , получим формулу замены переменной в определенном интеграле  .

Пусть - непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула интегрирования по частям  . Эта формула применяется для тех же классов функций, что и при вычислении неопределенного интеграла.

ПРИМЕР 3.  Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле