Е.В.Никульчев. Пособие "Control System Toolbox"
Фильтр Калмана

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

Оптимальная линейная фильтрация по Калману

Пусть многомерная система определяется как система с l-входами и n-выходами, у которой преобразование “вход-выход” задано в виде матричной импульсной переходной функции Ф(t, ?). (Импульсная переходной функция, по определения, это преобразование, описывающее реакцию системы, когда на вход поступает дельта-функция.)

Пусть U(t) – l-мерный вектор входа фильтра, а - n-мерный вектор выхода. Тогда связь между векторами и Y(t) определена интегралом

Пусть Y(t) – действительный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией R_YY(t, t ). Обозначим норму произвольной квадратной матрицы B через ||B|| и определим её следующим образом:

,

где tr(^.) – след, т.е. сумма диагональных элементов матрицы.

Пусть на вход многомерного фильтра поступает искаженный сигнал как сумма полезного сигнала M(t) и помехи N(t), т.е.

,

где M(t) и N(t) – l-мерные векторы с известными корреляционными функциями R_MM(t,t ) и R_NN(t,t ).

Предположим, что существует идеальный вход X(t) некоторой системы, который определяет желаемый выход и связан с полезным сигналом соотношением

,

где Ф_ИД(t, t ) – МИПФ идеальной системы. Рассмотрим вектор ошибок

.

Задача состоит в том, чтобы выбрать такую физическую реализуемую матричную ИПФ Ф^*(t, t ), чтобы математическое ожидание квадрата нормы ошибок было минимальным

,                                             (5)

где K(t, t ) = 0.

В зависимости от того, какая задача стоит: прогнозирование, фильтрации или сглаживания, определяется МИПФ идеальной системы. В задаче фильтрации X(t)=M(t), т.е. Ф_ИД(t,t )=I*d (t–t ). При такой постановке задачи минимум среднеквадратической ошибки (2) определяется МИПФ Ф^*(t, t ), получаемой из обобщенного уравнения Винера-Хопфа для многомерных систем

.

Известно, что если на вход системы поступает случайный сигнал Y(t), являющийся стационарным, в широком смысле, случайным процессом, оптимальную матричную передаточную функцию W^*(s) многомерного фильтра можно получить факторизацией рациональной матрицы спектральных плоскостей. В случае нестационарного случайного процесса решение интегрального уравнения Вольтерра 1-ог рода даже для скалярного случая представляет серьезные трудности, не говоря уже о векторном.

Р.Калман в своих работах модифицировал постановку задачи многомерной фильтрации Винера, придав ей форму проблемы пространства состояния. В результате такой модификации был получен фильтр Калмана, осуществляющий процедуру рекурсивного оценивания, когда подлежащий оцениванию сигнал является входным сигналом линейной нестационарной динамической системы.

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу