Е.В.Никульчев. Пособие "Control System Toolbox"
Описание динамических систем в пространстве состояний

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

Постановка задачи

Даны математические модели трех систем и структурная схема, представляющая собой соединение этих систем. Необходимо:

• получить модель результирующей системы в пространстве состояний,
• исследовать наблюдаемость и управляемость трех подсистем в отдельности, и общей системы.

Многомерные системы, в отличие от одномерных имеют несколько входов и несколько выходов.

Для описания таких систем используются три набора параметров (три вектора), см рис.1:

1. вектор входных воздействий (управлений);
2. вектор переменных состояний;
3. вектор выходных параметров

и двумя преобразованиями:

1. Преобразование “входы-состояния”
2. Преобразование “состояния-выходы”.

Рис.1. Многомерные системы

Широкое распространение, обусловленное разработанным математическим аппаратом, получили линейные модели многомерных систем в пространстве состояний, которые имеют вид:

                                 (1)

первое соотношение называется уравнением состояния, второе – уравнением выхода. Здесь x = (x₁, x₂, …, x_n)^T I Rⁿ – вектор переменных состояний; u = (u₁, u₂, …, u_r)^T I U I Rⁿ – вектор управлений; y = (y₁, y₂, …, y_m)^T I Rⁿ – вектор измеряемых параметров; t – время; A(t), B(t), C(t) – матрицы размерности (n? n), (n? r), (m? n) соответственно. Предполагается, что известны начальные состояния x(t₀) = x₀, где t₀ – начальный момент времени.

Если матрицы A(t), B(t), C(t) не зависят от времени t, то система называется стационарной. В пакете предполагается, что системы стационарны.

Рассмотрим задачи соединения двух подсистем в систему. При соединении возможны три варианта (рис. 2): параллельное (а), последовательное (б) и в обратной связи (в). Предполагается, что обе системы описываются в пространстве состояний соотношениями:

y¹ = C x¹;

y² = C x²;

где x¹, u¹, y¹ – векторы состояний, управлений, выходов первой системы, x², u², y² – второй. Необходимо по известным матрицам A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂ получить матрицы A, B, C (рис. 2.г).

a)

б)

в)

г)

Рис. 2. Соединение двух систем

1. Параллельное соединение

Запишем уравнения системы, с учетом особенностей соединения, указанных на рис. 2.а.

отсюда

;

.

Окончательно матрицы соединения имеют вид –

.

2. Последовательное соединение –

y = C₂ x²;

в матричном виде –

;

;

окончательно, имеем

.

3. Обратная связь –

y = C₁ x¹;

в матричном виде –

;

.

Следовательно,

.

Для линейных систем справедливо следующие правило, называемое принципом суперпозиции: эффект, вызываемый суммой нескольких воздействий, равен сумме нескольких воздействий, равен сумме эффектов от нескольких воздействий в отдельности. Закон изменения вектора состояний линейной системы представляется в виде суммы свободного и вынужденного колебания

x(t) = x_c(t) + x_в(t).

Свободное движение x_c(t) происходит при отсутствии внешнего воздействия в ненулевых начальных условиях. Оно определяется решением однородной системы уравнений, соответствующей исходному уравнению состояний

с начальными условиями x(t₀) = x₀.

Вынужденное движение x_в(t) – это реакция системы на внешнее воздействие u(t) при нулевых начальных условиях. Оно определяется решением неоднородного уравнения при нулевых начальных условиях.

Для многомерных нестационарных систем, описываемых соотношениями, поведение векторов состояния и выхода определяется по формулам

                 (2)

(3)

где Ф(t,t ) – переходная матрица, или матрица Коши, являющаяся решением уравнения

,                                                  (4)

с начальным условием .

Первые слагаемые в (2), (3) описывают свободное движение, а вторые - вынужденное.

Для многомерных стационарных систем, описываемых уравнениями (1), законы изменения вектора состояния и вектора выхода находятся по формулам

где Ф(t – t ) – переходная матрица стационарной системы, зависящая от разности t – t . В данном случае решение уравнения (4) имеет вид

.

Одними из важнейших задач теории управления является исследование управляемости и наблюдаемости динамических систем. Сформулируем соответствующие определения и критерии для стационарных линейных систем.

Система называется вполне управляемой, если выбором управляющего воздействия u(t) на интервале времени [t₀, t₁] можно перевести систему из любого начального состояния х(t₀) в произвольное заранее заданное конечное состояние x(t₁).

Система называется вполне наблюдаемой, если по реакции у(t₁) на выходе системы на интервале времени [t₀, t₁] при заданном управляющем воздействии u(t) можно определить начальное состояние х(t₀).

Критерий управляемости линейных систем. Для того чтобы система была вполне управляемой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы управляемости

M_U =(В АВ А²В … А^n–1В)

равнялся размерности вектора состояния:

rang M_U = n.

Критерий наблюдаемости линейных систем. Для того чтобы система была вполне наблюдаемой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы наблюдаемости

M_Y =(C^T A^TC^T (A^T)²C … (A^T)^n–1C^T)

равнялся размерности вектора состояния:

rang M_Y = n.

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу