Пример 1 ~ Пример 2 ~ Пример 3 ~ Пример 4 ~ Пример 5

Пример 1. Найти все конечные особые точки функции .

Решение.
Поскольку числитель и знаменатель дроби - аналитические функции, то особыми точками являются нули знаменателя, т.е. корни уравнений и - шесть точек .

Очевидно, что все эти точки изолированные и являются полюсами, т.к. для каждой из них справедливо .

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Вернуться на страницу <Курс ТФКП. Примеры>

Пример 2. Найти все конечные особые точки функции   и определить их тип.

Решение.
Поскольку числитель аналитическая функция, то особыми точками f(z) являются точка z₀ =0 и нули знаменателя - точки z_k , для которых
,
т.е.   .

Точки
очевидно, изолированные особые точки. Это полюсы, т.к. для каждой из них справедливо

Точка z₀ =0 не является изолированной особой точкое, т.к. в любой ее окрестности, кроме нее самой содержится бесконечное множество особых точек - точек

Такая особая точка называется предельной особой точкой полюсов z_k , ибо .

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Вернуться на страницу <Курс ТФКП. Примеры>

Пример 3. Определить тип особой точки z = 0 для функции .

Решение.
Точка z = 0 изолированная особая точка.

Поскольку и ,  т.е. не существует предел   в действительной области (z = x), то он не существует и в комплексной области, а это значит, что точка z = 0 - существенно особая точка функции .

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Вернуться на страницу <Курс ТФКП. Примеры>

Пример 4. Найти особые точки функции   и определить их тип.

Решение.
Поскольку числитель и знаменатель дроби - аналитические функции, то особыми точками являются нули знаменателя - точки z = 3 и z = -1.

Обе эти точки - простые нули знаменателя, т.е. они являются простыми полюсами функции f(z).

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Вернуться на страницу <Курс ТФКП. Примеры>

Пример 5. Найти особые точки функции  и определить их тип.

Решение.
Единственная особая точка функции - изолированная точка z = i.
Запишем (используя стандартное разложениедля экспоненты) разложение функции в ряд Лорана по степеням z - i:

Главная часть полученного разложения содержит бесконечное число членов, следовательно что точка z = i - существенно особая.

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Вернуться на страницу <Курс ТФКП. Примеры>