Каноническое уравнение плоскости ~ Канонические и параметрические уравнения прямой ~ Расстояние от точки до плоскости ~ Координаты точки, делящей отрезок в заданном соотношении

§ 1. Каноническое уравнение плоскости в пространстве

Пусть в декартовой системе координат дан вектор n={A,B,C} и точка М₀=(x₀,y₀,z₀).

Построим плоскость Π, проходящую через т. М₀, перпендикулярную вектору n (этот вектор называют нормальным вектором или нормалью плоскости).

Утверждение 1: М Π ó  М₀М n.

М₀М={x-x₀, y-y₀, z-z₀} n ó  A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0. (*)

(См. свойства скалярного произведения)

• Каноническое уравнение плоскости в пространстве:
  
  

Аx+By+Cz+D=0, где D = -Ax₀-By₀-Cz₀.

Замечание 1: формула (*) используется при непосредственном решении задач, после упрощения получается искомое каноническое уравнение плоскости.

Пример 1. Написать каноническое уравнение плоскости, перпендикулярной вектору n={3,1,1} и проходящей через точку М(2,-1,1).

Пример 2. Написать каноническое уравнение плоскости, содержащей точки K(2,1,-2), L(0,0,-1), M(1,8,1).

§ 2. Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве

Пусть в декартовой системе координат дан вектор a={p,q,r} и точка М₀=(x₀,y₀,z₀).

Утверждение 2: М l ó М₀М || a.

М₀М={x-x₀, y-y₀, z-z₀} || a ó tR, т.ч. М₀М=t·a =>

• Параметрические уравнения прямой в пространстве:
  
  

(**)

Вы никогда не сталкивались с параметрическим заданием кривых? Поясним на примере: представьте себе, что по заранее намеченному маршруту с известной скоростью движется турист (автомобиль, самолёт, подводная лодка, как Вам больше понравится). Тогда, зная точку начала его путешествия, мы в любой момент времени знаем, где он находится. Таким образом, его положение на маршруте определяется всего одним параметром – временем.

В нашем случае турист движется по бесконечной прямой в пространстве, в момент времени t₀=0 он находится в точке М₀, в любой другой момент времени t его координаты в пространстве вычисляются по формулам (**).

Теперь несколько преобразуем формулы (**).

Выразим из каждой строчки параметр t:

• Канонические уравнения прямой в пространстве:
  
  

Замечание 2: Эта компактная запись на самом деле содержит три уравнения.

Замечание 3: Это формальная запись и выражение вида в данном случае допустимо.

Замечание 4: Надо понимать, что для уравнения плоскости (прямой) играет роль именно направление перпендикулярного (направляющего) вектора, а не он сам. Т.о. вполне допустимо из каких-либо соображений заменять данный (или полученный в ходе решения) вектор на пропорциональный ему. Целесообразно также упрощать полученное уравнение, деля все его коэффициенты на общий множитель.

Пример 3. Написать канонические и параметрические уравнения прямой, параллельной заданной прямой и проходящей через заданную точку.

Пример 4. Написать канонические уравнения прямой, заданной пересечением двух плоскостей.

Пример 5. Найти точку пересечения прямой и плоскости.

§3. Расстояние от точки до плоскости в пространстве

Пусть в декартовых координатах плоскость Π задана уравнением: Ax+By+Cz+D=0, а точка М₁=(x₁,y₁,z₁).

Утверждение 3: расстояние от точки М₁ до плоскости Π вычисляется по формуле:

Пример 6. Найти расстояние от точки до плоскости.

§4. Координаты точки, делящей отрезок в заданном соотношении

Пусть в декартовой системе координат М₁=(x₁,y₁,z₁), М₂=(x₂,y₂,z₂) .

Утверждение 4: Координаты т. М, т.ч. М₁М=λ∙ММ₂, находятся по следующим формулам:

.