Ориентация пространства ~ Скалярное произведение ~ Векторное произведение ~ Смешанное произведение

§ 1. Ориентация пространства. Правые и левые тройки некомпланарных векторов.

Для дальнейшего изучения свойств пространства необходимо ввести определение ориентации пространства. Строгая теория, касающаяся этого понятия не очень сложна, но достаточно суха. В связи с этим ограничимся лишь некоторыми “качественными” пояснениями.

Итак, все упорядоченные некомпланарные тройки векторов могут быть разбиты на два непересекающихся класса: правые тройки и левые тройки.

Определение 1: Упорядоченная тройка некомпланарных векторов а₁, а₂, а₃ называется правой, если наблюдателю, находящемуся внутри телесного угла, образованного этими векторами, кратчайшие повороты от а₁ к а₂ и от а₂ к а₃ кажутся происходящими против часовой стрелки. Если повороты происходят по часовой стрелке, то тройка – левая.

Есть и ещё один способ разделить эти два класса:

Правило правой руки: Совместите начала всех векторов тройки в одной точке. Представьте, что в этой точке находится ладонь Вашей правой руки. Совместите большой палец с первым вектором базиса, а указательный – со вторым. Если теперь вы сможете совместить средний палец с третьим вектором, то рассматриваемая тройка векторов – правая. Если нет – левая.

Выбрав один из двух классов и назвав все входящие в него базисы “положительными” мы зададим ориентацию пространства.

Далее будем считать положительными правые тройки векторов. Все дальнейшие определения будем давать с учетом этого

§ 2. Скалярное произведение векторов.

Определение 2: Скалярное произведение ставит в соответствие паре векторов a и b число (a,b)=|a|·|b|·cosφ_a,b.

Свойства скалярного произведения:

1. коммутативность: (a,b)=(b,a)

2. (а,а)=|а|²

3. (a,b)=0 <=> a b

4. Дистрибутивность: (a₁+а₂,b)= (a₁,b)+ (a₂,b)

5. (а, λ·b)= λ·(a,b) λ R.

Утверждение 1: В декартовом базисе если а={x₁,y₁,z₁}, b={x₂,y₂,z₂}, то (a,b)=x₁·x₂+y₁·y₂+z₁·z₂.

Пример 1. Найти угол между векторами.

§ 3. Векторное произведение векторов.

Определение 3: Векторным произведением упорядоченной пары векторов a и b называется вектор [a,b], такой что

1. | [a,b] |=S_a,b, где S_a,b – площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. (Если a || b, то S_a,b=0.)
2. a [a,b] b.
3. a, b, [a,b] – правая тройка.

Свойства векторного произведения:

1. [a,b] = -[b,a]
2. [a,b] = θ ó a || b
3. [a₁+a₂,b] = [a₁,b]+[a₂,b]
4. λ·[a,b] = [λ·a,b] = [a,λ·b] λ R.

Утверждение 2: В декартовой системе координат (базис i, j, k), a={x₁, y₁, z₁}, b={x₂, y₂, z₂}

=> [a,b] =

=

Пример 2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b.

§4. Смешанное произведение векторов.

Определение 4: Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов a, b и c называется число <a, b, c>, т.ч. <a,b,c>=([a,b],c).

Утверждение 3: <a,b,c>=V_a,b,c, если a,b,c – правая тройка, или <a,b,c>= -V_a,b,c, если a,b,c – левая тройка. Здесь V_a,b,c – объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c. (Если a, b и c компланарны, то V_a,b,c=0.)

Утверждение 4: В декартовой системе координат, если a={x₁, y₁, z₁}, b={x₂, y₂, z₂},

с={x₃, y₃, z₃}, => <a,b,c>=.

Пример 3. Проверка компланарности векторов.

Пример 4. Принадлежность 4 точек одной плоскости.

Пример 5. Вычислить объем тетраэдра и его высоту.