Архив разработки (14 кб, Mathcad)

Для представления физических закономерностей, а также при проведении научно-технических расчетов часто используются зависимости вида y(x), причем число заданных точек (далее узловых) этих зависимостей ограничено. Неизбежно возникает задача приближенного вычисления значений функций в промежутках между узловыми точками (интерполяция) и за пределами (экстраполяция). Эта задача решается аппроксимированием исходной зависимости, то есть ее подменой какой-либо достаточно простой функцией. В курсе численных методов такие задачи решаются с помощью интерполирования известными полиномами (например, Ньютона или Лагранжа), либо подбором наиболее подходящей функции широко известным методом наименьших квадратов. Система Mathcad предоставляет возможность аппроксимации двумя важными типами функций: кусочно-линейной и сплайновой.

При кусочно-линейной интерполяции вычисления дополнительных точек выполняются по линейной зависимости. Графически это означает просто соединение узловых точек отрезками прямых, для чего используется следующая функция:

linterp (VX,VY,x)

Для задания векторов узловых точек VX и VY и заданного аргумента х функция linterp (VX,VY,x) возвращает значение функции при её линейной аппроксимации (интерполяции). При экстраполяции используются отрезки прямых, проведенных через две крайние точки.

При небольшом числе узловых точек (менее 10) линейная интерполяция оказывается довольно грубой. При ней даже первая производная функции аппроксимации испытывает резкие скачки в узловых точках. Для целей экстраполяции функция linterp не предназначена и за пределами области определения может вести себя непредсказуемо.

Гораздо лучшие результаты даёт сплайн-интерполяция. При ней исходная функция заменяется отрезками кубических полиномов, проходящих через три смежные узловые точки. Коэффициенты полиномов, проходящих через три смежные узловые точки. Коэффициенты полиномов рассчитываются так чтобы непрерывными были первая и вторая производные. Линия, которую описывает сплайн-функция, напоминает по форме гибкую линейку, закреплённую в узловых точках.

Для осуществления сплайновой интерполяции система Mathcad предлагает четыре встроенные функции. Три из них служат для получения векторов вторых производных сплайн функций при различных видах интерполяций:

cspline (VX,VY) – возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к кубическому полиному;

pscline (VX,VY) – возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к параболической кривой;

lspline (VX,VY) – возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к прямой.

interp (VS,VX,VY,x) – возвращает значение y(x) для заданных векторов VS,VX,VY и заданного значения х.

Таким образом, сплайн-интерполяция проводится в два этапа. На первом с помощью одной из трех вышеописанных функций отыскивается вектор производных функции y(x), заданной векторами VX и VY её значений (абсцисс ординат). Затем на втором этапе для каждой искомой точки вычисляется y(x) с помощью функции interp.

Пример.