Архив разработки (2 Кб, Maple)

Классическая модель нелинейной системы, демонстрирующая периодические автоколебания.

При различных начальных условиях фазовая траектория стремится к аттрактору - предельному циклу.

Установившиеся движения представляют собой периодические колебания, математическим образом в фазовом пространстве которых и является предельный цикл.

> restart;with(DEtools):with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

> vdp:=diff(x(t),t,t)-2*delta*diff(x(t),t)*(1-alpha*x(t)^2)+omega^2*x(t)=0; 

> alpha:=1;omega:=1;d:=0.2;

> sys:=[diff(x(t),t)=y(t),diff(y(t),t)-2*delta*y(t)*(1-alpha*x(t)^2)+omega^2*x(t)=0];

> ff:=dsolve({sys[1],subs(delta=d,sys[2]),x(0)=1,y(0)=1},
{x(t),y(t)}, type=numeric, output=listprocedure);

> fp := subs(ff,x(t)): fw := subs(ff,y(t)):

> steps:=100; init_t:=0; fin_t:=15*Pi;

> g:=seq([fp((fin_t-init_t)/steps*i),fw((fin_t-init_t)/steps*i)],i=0..steps):

> h:=seq([(fin_t-init_t)/steps*i,fp((fin_t-init_t)/steps*i)],i=0..steps):

Фазовый портрет:

> pointplot([g],connect=true,color=red,title="phase portrait",labels=[coordinate,velocity]):

Решение:

> pointplot([h],connect=true,color=red,title="oscillations",labels=[t,coordinate]);

> ic:=[[x(0)=3,y(0)=2],[x(0)=2,y(0)=0],[x(0)=0.5,y(0)=0.5],[x(0)=0,y(0)=0]];

> DEplot(subs(delta=d,sys),[x(t),y(t)],t=0..15*Pi,ic,method=rkf45,linecolor=black,color=blue,stepsize=0.1,title="Van-der-Pole Oscillator");

При изменении параметра происходит изменение формы аттрактора, при этом его топология не изменяется:

> for i from 1 by 1 to 15 do

> #delta:=i/20;

> fp[i]:=DEplot(subs(delta=i/20,sys),[x(t),y(t)],t=0..15*Pi,ic,method=rkf45,linecolor=black,color=blue,stepsize=0.1,title="Van-der-Pole Oscillator"):

> end do:

> display(seq(fp[i],i=1..15),insequence=true);

Наверх