Архив разработки (11 Кб, Maple 7)

задача 1 ~ задача 2 ~ задача 3 ~ задача 4

ЗАДАЧА 1.

Найти массу кривой с.

 = ( ),  = cos(2 ), 0    .

ЗАДАЧА 2.

Дана поверхность плотности  из которой вырезается пов-ть z. Найти координаты центра тяжести.

 :

>	restart:with(student):

>	with(plots):with(plottools):

>

S1:=sphereplot(1,theta=0..2*Pi,phi=Pi/4..Pi/2,color=RED,scaling=constrained,style=patchnogrid,axes=normal): S2:=cylinderplot(z,theta=0..2*Pi,z=0..sqrt(2)/2,color=BLUE): #S3:=cylinder([0,0,0],1,0.001,style=patch,color=red): #S4:=cylinder([0,0,0],1/sqrt(2),-0.01,style=patchnogrid,color=blue): plots[display]([S1,S2],orientation=[165,61],title="рис.2 - Заданная поверхность",lightmodel= 'light3');

>	C1:=plot([sin(x),cos(x),x=0..2*Pi],color=red,filled=true): C2:=plot([1/sqrt(2)*sin(x),1/sqrt(2)*cos(x),x=0..2*Pi],color=white,filled=true): plots[display]([C2,C1],scaling=constrained,labels=[x,y],title="рис.3 - Проекция на плоскость XY");

>	mu:=1; x^2+y^2+z^2=2;

>	with(student):

>	z(x,y):=solve(x^2+y^2+z^2=2,z)[1];

>	M=4*Doubleint('mu'*(sqrt(1+diff(z(x,y),x)^2+diff(z(x,y),y)^2)),y=sqrt(1-x^2)..sqrt(2-x^2),x=0..1);simplify(%);

Перейдём к полярной системе координат:

>	changevar({x=rho*sin(phi),y=rho*cos(phi)},Doubleint(op([2,3,1,1],%),x,y),[rho,phi]):

>	M=4*sqrt(2)*Doubleint(op([1,1],%),rho=sqrt(2)..1,phi=0..Pi/2);value(%);assign(%):

Статический момент инерции:

>	Мxy:=4*sqrt(2)*Doubleint(rho,rho=sqrt(2)..1,phi=0..Pi/2);Mxy:=value(%);

Т.к. у - ось симметрии объекта, то  . Найтём .

>	z[c]:='M_xy'/'M'; z[c]:=simplify(Mxy/M); `Ответ:  ` || C(0,0,z[c]);

ЗАДАЧА 3.

Найти поток векторного поля F через часть плоскости G, ограничеснного координатными плоскостями и расположенными в соответствующей октанте. Сторона плоскости определяется нормалью, образующей острый угол с осью ОХ.

>	with(plots):with(plottools):

>

restart;

Уравнение в отрезках

>	G:=x-y/2+z/3=1;

>	i :=arrow( [0,0,0],[1, 0, 0], .1, .2, .3, cylindrical_arrow,color=BLUE): j :=arrow( [0,0,0],[0, 1, 0], .1, .2, .3, cylindrical_arrow,color=RED): k :=arrow( [0,0,0],[0, 0, 1], .1, .2, .3, cylindrical_arrow,color=PINK):

>	F:=fieldplot3d([x+1,z+1,0],x=0..1,y=-2..0,z=0..3,arrows=SLIM,grid=[5,7,15]):

>	pol:=[[solve(subs(y=0,z=0,G),x),0,0], [0,solve(subs(x=0,z=0,G),y),0], [0,0,solve(subs(x=0,y=0,G),z)]]: poly:=polygon(pol,color=GREEN):

>	plots[display]([i,j,k,poly,F],axes=normal,style=patchnogrid,title="рис.4 - Поток через плоскость", orientation=[38,58],labels=[x,y,z],scaling=constrained,tickmarks=[2,4,3]);

Рассмотрим поток вектора F в проекциях на координатные плоскости:

>	f:=transform((x,y,z)->[x,y]):

>	XY_field:=fieldplot([x+1,y+1],x=0..1,y=-2..0,arrows=SLIM,color=x): XY:=plots[display]([f(poly),XY_field],labels=[x,y],title="рис.5 - Проекция на XOY",tickmarks=[2,3]):

>	f:=transform((x,y,z)->[y,z]):

>	YZ_field:=fieldplot([x+1,0],x=-2..0,y=0..3,arrows=SLIM,color=x):

>	YZ:=plots[display]([f(poly),YZ_field],labels=[y,z],title="рис.6 - Проекция на YOZ",tickmarks=[2,3]):

>	f:=transform((x,y,z)->[x,z]): XZ_field:=fieldplot([x+1,0],x=0..1,y=0..3,arrows=SLIM,color=x): XZ:=plots[display]([f(poly),XZ_field],labels=[x,z],title="рис.7 - Проекция на XOZ",tickmarks=[2,3]):

>	display(array(1..3,[XY,YZ,XZ]));

Составим уравнения прямых в проекции на плоскость:

>	y(x):=2*x-2;z(y):=3+3/2*y;z(x):=3-3*x;

Выразим x через y и z.

>	isolate(G,x);

>	with(student):

Поток P вектора F через заданную поверхность:

>

P=Int(Int(0,y=2*x-2..0),x=0..1)-Int(Int(z+1,z=0..3-3*x),x=0..1)+Int(Int(op(2,isolate(G,x))+1,z=0..3+3/2*y),y=-2..0); P=Int(int(0,y=2*x-2..0),x=0..1)-Int(int(z+1,z=0..3-3*x),x=0..1)+Int(int(op(2,isolate(G,x))+1,z=0..3+3/2*y),y=-2..0); P=convert(0,symbol)-convert(3,symbol)+convert(4,symbol); P=int(int(0,y=2*x-2..0),x=0..1)-int(int(z+1,z=0..3-3*x),x=0..1)+int(int(op(2,isolate(G,x))+1,z=0..3+3/2*y),y=-2..0);

ЗАДАЧА 4.

Дано векторное поле b  = (   )   i  + ( )   j  + (   )  k

   Необходимо:

- найти дивергенцию векторного поля b . Исследовать расположение источников и стоков векторных линий поля.

- найти поток векторного поля b через поверхность T.

- найти ротор векторного поля b .

- вычислить циркуляцию векторного поля b вдоль замкнутой линии L 2-мя способами.

--->  преобразовав линейный интеграл в определённый с использованием уравнений линий L.

---> преобразовав линейный интеграл в повторный с помощью теоремы Стокса

- выяснить, как изменится циркуляция поля вдоль контура L, если изменить расположение контура в данном поле.

- найти max значение циркуляции для данного контура.

 L - контр прямоугольника А(0,0,2), B(1,0,2), C(1,1,1), D(0,1,1)

T: -1  

>

restart:

>	with(LinearAlgebra):with(student):with(VectorCalculus):

>	fieldplot3d([(x,y,z)->3*z+x^3,(x,y,z)->4+z-y^3,(x,y,z)->x+3*y+z^3],-1..1,-1..1,-1..1,arrows=SLIM,axes=normal,labels=[x,y,z],title="рис.8 - Трёхмерное векторное поле",orientation=[-106,61],axes=frame);

>	SetCoordinates( cartesian[x,y,z] ): b := VectorField( <3*z+x^3,z+4-y^3,x+3*y+z^3>, 'cartesian'[x,y,z] );

Найдём дивергенцию векторного поля.

>	'div(b)'=Divergence(b);div:=op(2,%):

>

F:=fieldplot3d([(x,y,z)->3*z+x^3,(x,y,z)->4+z-y^3,(x,y,z)->x+3*y+z^3],-1..1,-1..1,-1..0,arrows=SLIM,axes=normal,labels=[x,y,z],color=BLACK,thickness=2): P1:=plot3d(-x^2-y^2,x=-1..1,y=-1..1,style=patchnogrid): P2:=cylinder([0,0,-1], 1,0.001): plots[display]([P1,P2,F],view=[-1..1,-1..1,-1..0],axes=normal,tickmarks=[2,2,3],title="рис.9 - Поток векторного поля");

Найдём поток поля через поверхность Т воспользовавшись формулой Остроградского.

 

>	4*Tripleint(div,y=0..sqrt(1-x^2),x=0..1,z=-1..0)= value(4*Tripleint(div,y=0..sqrt(1-x^2),x=0..1,z=-1..0));

Найдём ротор векторного поля.

>

`rot(b)`=Matrix(3,3,[[e[x],e[y],e[z]],[d/dx,d/dy,d/dz],[b[1],b[2],b[3]]]); rot:=collect(Determinant(op(2,%)),[e[x],e[y],e[z],dx,dy,dz]): `rot(b)`=VectorField(<subs(e[x]=1,e[y]=0,e[z]=0,rot),                       subs(e[x]=0,e[y]=1,e[z]=0,rot),                       subs(e[x]=0,e[y]=0,e[z]=1,rot)>, 'cartesian'[x,y,z]); `rot(b)`=Curl(b);

>

F3:=fieldplot3d([(x,y,z)->3*z+x^3,(x,y,z)->4+z-y^3,(x,y,z)->x+3*y+z^3],0..1,0..1,1..2,arrows=SLIM,labels=[x,y,z]): A1:= arrow([0,0,2], [.5,0,2], .01, .08, .2, cylindrical_arrow,color=green): A2:= arrow([1,0,2], [1,.5,1.5], .01, .08, .2, cylindrical_arrow,color=green): A3:= arrow([1,1,1], [.5,1,1], .01, .08, .2, cylindrical_arrow,color=green): A4:= arrow([0,1,1], [0,.5,1.5], .01, .08, .2, cylindrical_arrow,color=green): T:=textplot3d([0.5,0.5,1.5,`контур L`],color=BLACK,font=[COURIER,BOLD,18]): A:=textplot3d([0,0,2,`А`],color=BLACK,font=[COURIER,BOLD,18],align=ABOVE): B:=textplot3d([1,0,2,`В`],color=BLACK,font=[COURIER,BOLD,18],align=ABOVE): C:=textplot3d([1,1,1,`С`],color=BLACK,font=[COURIER,BOLD,18],align=ABOVE): d:=textplot3d([0,1,1,`D`],color=BLACK,font=[COURIER,BOLD,18],align=ABOVE): P:=curve([[0,0,2],[1,0,2],[1,1,1],[0,1,1],[0,0,2]],color=green,thickness=3): l1:=line([0,0,1],[0,0,2],linestyle=DASH,color=black,thicknes=5): l2:=line([1,0,1],[1,0,2],linestyle=DASH,color=black,thicknes=5): l3:=line([0,0,1],[1,0,1],linestyle=DASH,color=black,thicknes=5): l4:=line([0,1,1],[0,0,1],linestyle=DASH,color=black,thicknes=5): l5:=line([1,1,1],[1,0,1],linestyle=DASH,color=black,thicknes=5): plots[display]([P,F3,seq(A||i,i=1..4),T,A,B,C,d,seq(l||i,i=1..5)],                 title="рис.10 -циркуляция вдоль контура L",orientation=[-106,61],axes=frame);

Найдём циркуляцию поля вдоль амкнутого контура A[0,0,2]->B[1,0,2]->C[1,1,1]->D[0,1,1].

>	A:=[0,0,2]; B:=[1,0,2]; C:=[1,1,1]; d:=[0,1,1];# D - занят дифф.оператором =(

>

print(`Циркуляция поля вдоль АВ.`); Int(b[1],x=A[1]..B[1])=int(b[1],x=A[1]..B[1]); Ц[AB]:=subs(z=2,int(b[1],x=A[1]..B[1])); print(`Циркуляция поля вдоль ВС.`); Int(b[3],z=B[3]..C[3])=int(b[3],z=B[3]..C[3]); Int(b[2],y=B[2]..C[2])=int(b[2],y=B[2]..C[2]); Ц[BC]:=subs(x=1,y=0,op(2,%%))+subs(x=1,z=1,op(2,%)); print(`Циркуляция поля вдоль CD.`); Int(b[1],x=C[1]..d[1])=int(b[1],x=C[1]..d[1]); Ц[CD]:=subs(y=1,z=1,op(2,%)); print(`Циркуляция поля вдоль DA.`); Int(b[2],y=d[2]..A[2])=int(b[2],y=d[2]..A[2]); Int(b[3],z=d[3]..A[3])=int(b[3],z=d[3]..A[3]); Ц[DA]:=subs(z=1,op(2,%%))+subs(x=0,y=0,op(2,%)); print(`Циркуляция поля вдоль А->В->C->D.`); Ц[ABCD]='Ц[AB]'+'Ц[BC]'+'Ц[CD]'+'Ц[DA]'; Ц[ABCD]=Ц[AB]+Ц[BC]+Ц[CD]+Ц[DA];

Преобразуем линейный интегралл к повторному с помощью ф-лы Стокса:

>

Normalize(<B[1]-A[1],B[2]-A[2],B[3]-A[3]> &x <C[1]-B[1],C[2]-B[2],C[3]-B[3]>,Euclidean): n:=VectorField(<%[1],%[2],%[3]>, 'cartesian'[x,y,z] ); rot=Del &x b; DA:=<A[1]-d[1],A[2]-d[2],A[3]-d[3]>;AB:=<B[1]-A[1],B[2]-A[2],B[3]-A[3]>; S:=VectorNorm(DA,2,conjugate=true)*VectorNorm(AB,2,conjugate=true); 'Ц'='S'*'`(rot(b),n)`'; 'Ц'=S*Del &x b . n;

Максимальная циркуляция будет достигнута при значении угла между ротором и норалью равным 0.

В этом случае циркуляция равна произведению модулей ротора и площади контура.

>	'Ц'[max]='S'*'`rot(b)`'*'n'; 'Ц'[max]=S*Norm(Del &x b,2,conjugate=true)*Norm(n,2,conjugate=true);