Лабораторная работа № 2

Тема: «Вариационный ряд.

Числовые характеристики вариационного ряда. Статистические методы изучения зависимостей между  случайными величинами.»

 

Контрольные вопросы и задания.

 

1. Приведите определение математического ожидания дискретной (абсолютно непрерывной) случайной величины.

Примерный ответ: Математическим ожиданием дискретной случайной величины ξ называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

 

2. Является ли выборочное среднее несмещенной (состоятельной) оценкой математического ожидания?

Примерный ответ: Является.

Выборочное среднее в роли случайной величины

,

                                               

где n - объём выборки,

является несмещённой и состоятельной оценкой математического ожидания.

По выборочным данным x₁, x₂,…, x_n находим значение выборочного среднего

.

 

3. Приведите определение дисперсии и среднего квадратического отклонения случайной величины.

Примерный ответ: Дисперсией случайной величины ξ называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

D(ξ) = M[ξ - M(ξ)]².

Дисперсию удобно вычислять по формуле:

D(ξ)=M(ξ ²) - [М(ξ)]².

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

.

 

4. Приведите определения следующих статистических оценок дисперсии: выборочная дисперсия и исправленная выборочная дисперсия. Укажите их свойства.

Примерный ответ: Выборочной дисперсией D_в называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их значений X_в:

_.

Если значения признака x₁, …, x_n имеют соответственно частоты n₁, …, n_k, причём n₁+…+n_k=n, то выборочную дисперсию можно найти по формуле:

 

 

_,

т.е. выборочная дисперсия есть среднее взвешенное квадратов отклонений с весами, равными соответствующим частотам.

Теорема. Выборочная дисперсия D_в равна среднему квадратов значений признака минус квадрат общей средней:

.

 

Выборочная дисперсия в роли случайной величины

является смещённой оценкой дисперсии:

 

                                                                              

Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии D(ξ). Достаточно для этого умножить на дробь n/(n-1). Сделав это, получим исправленную выборочную дисперсию:

.

Исправленная дисперсия является несмещённой оценкой генеральной дисперсии:

 

Итак, в качестве несмещённой оценки генеральной дисперсии принимают исправленную дисперсию:

.

            По выборочным данным x₁, x₂,…, x_n найдём одно из возможных значений

несмещённой дисперсии s² . Полученное значение обычно обозначается тем же символом s² и так же называется выборочной дисперсией.

5. Как найти коэффициент вариации вариационного ряда?

Примерный ответ: Коэффициентом вариации V называют выраженное в процентах отношение выборочного среднего квадратического отклонения к выборочной средней:

V=(σ_в/x_в)*100%.

6. Приведите определение коэффициента корреляции  случайных величин ξ и η.

7. Как найти ковариацию ?

8. В каком случае случайные величины ξ и η называются: а) некоррелированными; б) независимыми?

9. Следует ли из независимости (некоррелированности) случайных величин ξ и η некоррелированность (независимость) этих случайных величин?

10. Приведите определение выборочной ковариации  и выборочного коэффициента корреляции  случайных величин ξ и η. Как по выборочным данным (x₁,y₁), (x₂,y₂), …, (x_n,y_n) вычислить значения  и  оценок ?

11. Приведите определение теоретической регрессии η на ξ. Укажите выборочное уравнение прямой линии регрессии η на ξ.

12. Как проводится проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции?

Задание.

 

Вариант №1

Соберите данные о значениях признака ξ₁ (рост) и признака ξ₂ (вес) у студенток группы.

Вариант №2

Соберите данные о значениях признака ξ₃ (успеваемость по дисциплине «Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными») и признака ξ₄ (успеваемость по дисциплине «Геометрия») у студентов группы.

Вариант №3

Соберите данные о значениях признака ξ₃ (успеваемость по дисциплине «Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными») и признака ξ₅ (успеваемость по дисциплине «История образования и педагогической мысли») у студентов группы.

Вариант №4

Соберите данные о значениях признака ξ₁ (рост) и признака ξ₃ (успеваемость по дисциплине «Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными») у студенток группы.

Вариант №5

Соберите данные о значениях признака ξ₂ (вес) и признака ξ₆ (успеваемость по дисциплине «Теория чисел») у студенток группы.

 

Цель работы:

 

1.   Овладение различными способами отбора статистических данных.

2.   Нахождение точечных характеристик вариационного ряда.

3.   Овладение методами установления связи между двумя случайными величинами, проверки статистической гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции, построения выборочного уравнения прямой линии регрессии.

4.   Приобретение навыка работы со статистическими прикладными программами на ЭВМ.

 

Ход работы:

 

 

1). Исходная выборка по росту и весу:

 

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Рост	160	168	175	169	170	169	162	166	163	160	158	173	162	173	156	158	168	170	162	155
Вес	48	58	69	64	69	70	51	60	67	54	48	58	44	50	56	56	51	50	60	50

 

2). Определение объема выборки:

n=20, где n – объем выборки

 

3). Составление ранжированного ряда:

 

Рост	155	156	158	158	160	160	162	162	162	163	166	168	168	169	169	170	170	173	173	175
Вес	44	48	48	50	50	50	51	51	54	56	56	58	58	60	60	64	67	69	69	70

 

4). Составление вариационного ряда:

 

Рост	155	156	158	160	162	163	166	168	169	170	173	175
Вес	44	48	50	51	54	56	58	60	64	67	69	70

 

5). Составление таблицы с указанием статистического распределения частот и относительных частот признака РОСТ:

 

 

Проверка выполнения равенства n₁+…+n_k=n и ω₁+…+ω_k=1

1+1+2+2+3+1+1+2+2+2+2+1=20 (равенство выполняется)

0,05+0,05+0,1+0,1+0,15+0,05+0,05+0,1+0,1+0,1+0,1+0,05=1 (равенство выполняется)

 

5.1). Полигон абсолютных частот:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.2). Полигон относительных частот:

 

 

6). Составление таблицы с указанием статистического распределения частот и относительных частот признака ВЕС:

 

 

Проверка выполнения равенства n₁+…+n_k=n и ω₁+…+ω_k=1

1+2+3+2+1+2+2+2+1+1+2+1=20 (равенство выполняется)

0,05+0,1+0,15+0,1+0,05+0,1+0,1+0,1+0,05+0,05+0,1+0,05=1 (равенство выполняется)

 

6.1). Полигон абсолютных частот:

 

 

 

6.2). Полигон относительных частот:

 

 

7). Составление эмпирической функции распределения вероятностей по признаку РОСТ и построение её графика:

 

где n_x – накопленная частота, n -  объём выборки.

n=20

При x≤155	nx=0, F*(x)=0;	При 166<x≤168	nx=11, F*(x)=0,55;
При 155<x≤156	nx=1, F*(x)=0,05;	При 168<x≤169	nx=13, F*(x)=0,65;
При 156<x≤158	nx=2, F*(x)=0,1;	При 169<x≤170	nx=15, F*(x)=0,75;
При 158<x≤160	nx=4, F*(x)=0,2;	При 170<x≤173	nx=17, F*(x)=0,85;
При 160<x≤162	nx=6, F*(x)=0,3;	При 173<x≤175	nx=19, F*(x)=0,95;
При 162<x≤163	nx=9, F*(x)=0,45;	При x>175	nx=20, F*(x)=1;
При 163<x≤166	nx=10, F*(x)=0,5;

 

Получили функцию:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

График функции F^*(x):

 

 

8). Составление эмпирической функции распределения вероятностей по признаку ВЕС и построение её графика:

где n_y – накопленная частота, n -  объём выборки.

n=20

При y≤44	ny=0, F*(y)=0;	При 58<y≤60	ny=13, F*(y)=0,65;
При 44<y≤48	ny=1, F*(y)=0,05;	При 60<y≤64	ny=15, F*(y)=0,75;
При 48<y≤50	ny=3, F*(y)=0,15;	При 64<y≤67	ny=16, F*(y)=0,8;
При 50<y≤51	ny=6, F*(y)=0,3;	При 67<y≤69	ny=17, F*(y)=0,85;
При 51<y≤54	ny=8, F*(y)=0,4;	При 69<y≤70	ny=19, F*(y)=0,95;
При 54<y≤56	ny=9, F*(y)=0,45;	При y>70	ny=20, F*(y)=1.
При 56<y≤58	ny=11, F*(y)=0,55;

 

 

 

Получили функцию:

 

 

График функции F^*(y):

 

 

9). Вычисление , ,, , s, V  по признаку РОСТ:

 

;

;

;

;

;    

;

;

;

;

;

;

.

10). Определение , ,, , s, V по признаку ВЕС:

 

;

;

;

;

;    

;

;

;

;

;

;

.

   

11). Нахождение коэффициента корреляции r(x,y):

 

Составим таблицу:

 

, .

Из  следует, что .

, ,

.

 

12). Проверка гипотезы о значимости полученного коэффициента корреляции:

 

Правило. Для того, чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H1: r_г ≠ 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия

          

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k=n-2 найти критическую точку t_кр (α;k) двусторонней критической области. Если ‌‌│T_набл│< t_кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если │T_набл │> t_кр - нулевую гипотезу отвергают.

 

Уровень значимости α полагаем равным 0,05. Из n=20 и k=n-2 следует, что число степеней свободы k равно 18. Таким образом, t_кр (α;k) = t_кр (0,05; 18). По таблице критических точек распределения Стьюдента находим:

t_кр (α;k) = t_кр (0,05; 18) = 2,10.

Из  следует, что

│T_набл │> t_кр. Поэтому отвергаем нулевую гипотезу.

13). Нахождение выборочного коэффициента регрессии :     

.

 

 

Проверка:

 

;

. 

14). Выборочное уравнение прямой линии регрессии ξ₂ на ξ₁ имеет вид:

 

y = ρ_в(x-x_в) + y_в, отсюда получаем  y = 0,58*(x-164,85) + 56,65.

 

 

15). График выборочной регрессии и корреляционное поле: