![]() |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() |
Вход | ![]() |
Раздел "Обработка сигналов и изображений\Wavelet Toolbox"
К.А.Алексеев "Wavelet-Музыка" В который раз я слушал запись “Messa di Requiem” Джузеппе Верди, однако, вместо того, чтобы наслаждаться этим потрясающим произведением и филигранной трактовкой фон Шолти, вместо того, чтобы учиться технике филирования звука, его формированию, контрастированию на примере пения блестящих Джоан Сазерленд, Лучано Паваротти и Мерелин Хорн, я не знал, как избавиться от одной мысли, буквально изводившей меня. Эта мысль никогда раньше не приходила мне в голову, несмотря на то, что я, можно сказать, не расстаюсь с музыкой. Мысль, не дававшая покоя, была мыслью о полноте музыкальной нотации как базиса, мыслью о возможности ненотационной записи музыки. Конечно, нотационная форма является весьма удобной, поскольку с ее помощью, а также с помощью некоторых других специальных знаков (например, бемоля, диеза, знаков мелизмов) достаточно просто записать любое произведение, достаточно просто его прочесть. Однако внушительность итогового количества страниц с записью даже небольшой композиции, не говоря о целой опере, издаваемой в виде весьма толстых талмудов, заставила меня задуматься о качестве нотационного базиса. В древности, существовало множество форм записи музыки: греческая форма, крюковые формы знаменных, демественных и др. распевов, которые впоследствии были заменены набором всего семи делений октавы, рассматриваемых посейчас как наиболее совершенная форма записи. Недавно стала возможной запись музыкального произведения как аудиосигнала в виде последовательности единиц и нулей, упакованных в файл на некотором носителе. Так или иначе, запись музыки осуществляется посредством разложения звукоряда по некоторым векторам (или функциям), образующим базисную систему. 1. Математическая нотация записи музыки1.1. Ортогональные и неортогональные базисы записиПредположим простоты ради, что исходный сигнал
Поскольку любой вектор может быть представлен в виде единственного и только единственного линейного разложения по базисным векторам пространства, запишем исходный сигнал в виде:
где Сравним результат разложения сигнала по ортам В теории линейной алгебры можно указать такой базис, в котором исходный сигнал
полученный посредством трансляции и дилатации вектора
т.е. в виде последовательности {1,0,0,0}. 1.2. Фурье-нотация Не отвлекаясь более на теоретические подробности записи, представим себя на месте композитора, имеющего в своем распоряжении некоторую музыкальную тему – мелодию. Положим также, что в нашем распоряжении имеется что-то вроде libretto, и конечная цель нашего творчества есть создание небольшой четырехголосной композиции (например, concertino) для смешанного хора: басов, теноров, альтов и сопрано. При этом для записи нашей композиции вместо непосредственной – нотационной – формы, каковой пользуются все без исключения музыканты, воспользуемся способами математической “нотации” произведения. Классическим способом анализа и записи музыкальных произведений является способ разложения в ряд Фурье [2, 3]:
где Из формулы видно, что подобная форма записи произведения не обеспечивает дирижера и вокалистов хора (равно как скрипачей, виолончелистов, кларнетистов и др. музыкантов оркестра в случае исполнения симфонического произведения) точными сведениями относительно того, в каком такте и начиная с какой его доли необходимо пропеть ту или иную фразу, ни даже представлениями о том, какова структура самой фразы (например, педаль или колоратурный пассаж). Вспомним при этом, что, например, невмы знаменного распева не обеспечивали монастырских певчих лишь информацией о точной высоте звука, давая необходимые сведения о его длительности. Недостаток такой “Фурье-нотации” заключается, как известно, в потребности полной периодичности звучания хора, что представляется практически невозможным. Одним из возможных способов повышения качества “Фурье-нотации” может служить способ, основанный на использовании сегментов данных (окон). Воспользуемся в качестве таких сегментов естественным делением музыкального произведения на такты, – другими словами, будем считать каждый такт одним сегментом данных. Здесь необходимо подчеркнуть, что не существует никаких ограничений в принятии 2, 3, 4 и более тактов за один сегмент данных, однако, представляется очевидным факт ухудшения качества нотации при увеличении размера сегмента. Аналогично предыдущему случаю, разложим каждый такт композиции в ряд Фурье, после чего получим:
где Совокупность Фурье-нотаций, соответствующих каждому такту музыкального произведения, по-видимому, обеспечивает чуть более ясную картину звукового содержания такта в отличие от предыдущего случая, однако остается по-прежнему недостаточно информативной системой записи. Во время исполнения сегментированное таким образом произведение представится слушателю как последовательность полифонических аккордов. 1.3. Wavelet-нотация Наиболее близкая, как можно убедиться далее, к истинной нотационной форме математическая запись произведения основана на использовании базиса, образованного wavelet-функциями. Wavelet-функции представляют собой функции, обладающие компактным носителем, обеспечивающим их локализацию во временной области, а также набором моментов, обеспечивающих их локализацию в частотной области. При этом одним из замечательных свойств классических wavelet-функций является возможность их построения путем трансляции и дилатации какой-либо одной, материнской, wavelet-функции [3, 4]. Необходимо подчеркнуть, что операции трансляции и дилатации обеспечивают сходство классических wavelet-функций с нотационной формой записи, указывая как на длительности нот каждого такта, так и на их “высоту”. Воспользуемся упомянутыми свойствами wavelet-функций для записи партитуры нашего concertino. Предположим, произведение начинается в момент времени Очевидно, для обеспечения полнозвучности аккорда вторые тенора должны вступить в момент времени Вообще говоря, аккорды могут быть записаны путем трансляций и дилатаций не только басовых нот: в том случае, если основной тон мелодики находится, например, у альтов, процесс “нотообразования” для теноров и басов может быть осуществлен посредством понижения частоты основного тона, а именно Графическое представление описанной формы записи музыкального произведения соответствует процедуре многомасштабного анализа [1, 3, 4] (см. рис. 1). Естественно, время-частотная плоскость, соответствующая первому аккорду нашего произведения, может быть продолжена посредством привлечения к исполнению группы новых голосов (например, тенорантино, дискантов). Расширение время-частотной плоскости, например, камерного оркестра соответствует введению в оркестр инструментов духовой группы (гобоев, фаготов, флейт, кларнетов и т.д.), а также ударников и т.д. Рис. 1 2. Пример Рассмотрим результат wavelet-нотации музыкального произведения на примере сигнала, содержащего фрагмент арии Каварадосси (“Тоска” Дж. Верди), исполненного Э. Карузо (исходный сигнал и его спектральная оценка изображены на рис. 2а, б). На рис. 2в показан спектр сжатого сигнала, полученного с использованием wavelet-функций Хаара. 3. Заключение Функции Хаара, весьма простые для построения wavelet-преобразования, являются не единственными функциями, которые могут быть использованы для записи музыки. В настоящее время существуют также другие wavelet’ы, синтезируемые посредством трансляции и дилатации материнских функций, например биортогональные wavelet-функции, wavelet-функции Добеши и др. [5]. а) б) в) Рис. 2 1. Sweldens, W., Schroder, P. Building your own wavelets at home // “Wavelets in computer graphics”, ACM SIGGRAPH, 1996. |
![]() |
||
Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB" (май 2002 г.)
|
||
На первую страницу \ Сотрудничество \ MathWorks \ SoftLine \ Exponenta.ru \ Exponenta Pro | ||
E-mail: | ||
Информация на сайте была обновлена 15.04.2003 |
Copyright 2001-2003 SoftLine Co Наши баннеры |