И.М.Журавель "Краткий курс теории обработки изображений"

 В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

В пакете Image Processing Toolbox системы MATLAB существует довольно много функций для решения тех или иных задач обработки изображений, которые оперируют такими понятиями как функция распространения точки, обращение двумерной свертки (например, deconvblind, deconvlucy, deconvreg, deconvwnr [2] и др.). Рассмотрим это более детально с точки зрения теории.

Деконволюция

Решение задачи деконволюции заключается в обращении двумерной свертки. Термин "деконволюция" охватывает наиболее важные и широко используемые методы обработки изображений. Необходимость в такой операции возникает во всех областях науки, связанных с измерениями. По методах деконволюции существует большое число работ [1].

Задача деконволюции может быть решена несколькими способами. Выбор наиболее подходящего для решения этой задачи метода зависит от ряда факторов, в том числе от формы и протяженности функции распространения точки (ФРТ), характера исходного изображения и степени усечения его кадровым окном записывающего устройства.

Какой бы метод не использовался, почти всегда необходимо провести предварительную обработку заданного искаженного изображения для преобразования его в форму, удобную для выполнения процедуры деконволюции. Предварительную обработку целесообразно разделить на пять категорий: сглаживание, разбиение на фрагменты, аподизацию (взвешивание обрабатываемого отрезка сигнала весовой функцией), расширение границ и сверхразрешение. Под сглаживанием изображения здесь понимается уменьшение зашумленности. Разбиение на фрагменты включает разделение изображения с пространственно-зависимой ФРТ на фрагменты, в каждом из которых ФРТ может приближенно рассматриваться как пространственно-инвариантная. Аподизация - это метод, позволяющий уменьшить влияние кадрового окна (записывающего устройства), которое производит усечение изображения. Однако этот метод может быть менее эффективным, нежели метод расширения границ, который мы удачно применяли в ряде случаев. Известны две модификации метода расширения границ - простое расширение и расширение с перекрыванием. Второй метод, как правило, более предпочтителен, поскольку в нем используются преимущества условия согласованности периодических сверток. Это еще один пример того, как повышается эффективность численного метода, когда более полно учитываются особенности исследуемой задачи в плане математической физики. Сверхразрешение рассматривается как процедура предварительной обработки, поскольку в конечном счете она позволяет уменьшить зашумленность.

Существует также мультипликативная деконволюция, которая является наиболее распространенным методом восстановления изображения, представимого в виде согласованной свертки. Искаженное изображение, которое не является таким, следует преобразовать к виду согласованной свертки.

Метод субтрактивной деконволюции оказывается особенно полезным, когда дефекты, имеющиеся в записанном изображении, связаны не с потерей разрешения, а с искажением небольших деталей, например в случае, когда ФРТ имеет такой же узкий основной лепесток, как и разрешаемая деталь, но обладает широким хвостом значительной амплитуды или характеризуется высокими боковыми лепестками. Метод субтрактивной деконволюции можно легко модифицировать таким образом, чтобы включить пространственно-зависимые искажения, хотя вычислительная реализация этих методов становится тогда очень сложной.

Существуют различные подходы к задаче деконволюции. Эти подходы включают нерекурсивный и рекурсивный методы фильтрации в плоскости изображения, прямые матричные методы и методы максимальной энтропии и максимального правдоподобия.

Метод согласованной деконволюции, который возник из исследований комплексных нулей в частотной плоскости, является в основном одномерным методом, к которому можно так же широко обращаться, как и к методу мультипликативной деконволюции.

Одним из наиболее важных практических методов деконволюции является метод слепой деконволюции. Отметим, что все методы обработки спекл-изображений можно рассматривать как частные случаи слепой деконволюции.

Кроме известных традиционных приложений деконволюции существуют и различные ее экзотические применения. Одно из наиболее замечательных таких применений - восстановление методом слепой деконволюции записей голосов знаменитых певцов на старых граммофонных пластинках.

Интеграл свертки представляется выражением

(1)

где h(x) - функция, задающая искажение; f(x) - функция, которую необходимо восстановить.

Согласно теореме о свертке фурье-образ величины (1) равен

(2)

где F(u) - функция, связанная с функцией f(x) двумерным преобразованием Фурье; H(u) - фурье-образ оптической передаточной функции.

Идеализированная задача конечной деконволюции такова: заданы функции b(x) и h(x) , требуется восстановить функцию f(x) при условии, что все три величины имеют конечную протяженность.

Из соотношения (2) следует, что эту задачу можно решить следующим образом

(3)

Операция деления внутри фигурных скобок в выражении (3) называется простой инверсной фильтрацией. Термин "фильтрация" здесь употребляется по аналогии с классической теорией цепей и современной теорией обработки сигналов. Классический фильтр представляет собой устройство, которое изменяет спектр временных частот сигнала. Спектр B(u) есть функция пространственной частоты.

Оптическая передаточная функция H(u) изменяет спектр пространственных частот B(u) в результате применения указанной выше операции деления.

Поскольку обработанные изображения обычно хранятся в памяти ЭВМ в виде квантованных значений, в технике обработки изображений, как правило, используются цифровые, а не классические аналоговые фильтры. Цифровой фильтр определяется дискретным массивом, вообще говоря, комплексных чисел, который изменяет в процессе некоторой операции обработки спектр пространственных частот. Следовательно, обе функции, h(x) в формуле (1) и H(u) в формуле (2), могут рассматриваться как фильтры (и в большей части приложений они реализуются в цифровом виде). Общепринятая классификация цифровых фильтров возникла в теории обработки сигналов как функций времени, и этой классификацией можно пользоваться в теории обработки одномерных изображений, т. е. сигналов как функций (одной) пространственной переменной. Мы перенесем соответствующую терминологию на двумерный случай. Понятие "отсчета" в теории обработки сигналов переходит в понятие "элемента изображения" в теории обработки изображений. Как отсчеты, так и элементы изображений должны квантоваться по амплитуде до их цифровой обработки. Изображение, к которому должна быть применена операция фильтрации, называется заданным изображением, и о нем говорят как о состоящем из заданных элементов изображения. Элементы профильтрованного изображения называются выходными элементами изображения. В случае нерекурсивного цифрового фильтра каждый выходной элемент изображения представляет собой взвешенную сумму заданных элементов изображения. В случае же рекурсивного цифрового фильтра каждый выходной элемент изображения есть взвешенная сумма заданных элементов изображения и рассчитанных ранее выходных элементов изображения. Все практически реализуемые цифровые фильтры, конечно, описываются массивами конечных размеров (в одномерном случае конечный фильтр часто называют коротким). Цифровой фильтр называется прямым, если он применяется в плоскости изображения, и спектральным - если он применяется в частотной плоскости. Каузальный фильтр является односторонним в том смысле, что его отклик всегда отстает от входного воздействия (это несколько искусственно в двумерном случае, но, конечно, имеет очень важное значение для операций одномерной фильтрации, которые лежат в основе обработки сигналов как функций времени). Каузальные фильтры почти всегда реализуются как прямые. Мультипликативный цифровой фильтр представляет собой спектральный фильтр, в котором каждый выходной отсчет получается как произведение заданного элемента входного сигнала на один элемент массива фильтра.

Если бы все существенные стороны практических задач деконволюции сводились к формуле (3), то все содержание настоящей публикации можно было легко вместить в небольшой статье. Однако в задаче деконволюции встречается очень много практических трудностей. Это объясняется тем, что обрабатываемые данные на практике всегда искажены.

Прежде чем ставить практическую задачу деконволюции, исследуем некоторые свойства согласованности сверток.

В одномерном случае соотношение (2) представляется в виде

(4)

где вещественная переменная u заменена комплексной переменной w . Если функции f(x) и h(x) имеют конечную протяженность, так что протяженность функции b(x) тоже конечна, то их спектры характеризуются множествами нулей в комплексной w -плоскости.

Если заданное множество Z_g представить в виде множества вещественных нулей Z_g^r и нулей, которые могут быть комплексными Z_g^c , то можно записать

(5)

Это означает, что одномерная задача деконволюции является согласованной только в том случае, если все нули функции H(w) будут также и нулями функции B(w) . Следовательно, величины b(x) и h(x) нельзя задавать независимо; заранее должно быть известно, что они удовлетворяют соотношению (1). То же относится и к двумерным сверткам.

Теперь вернемся к периодически продолженному (с перекрыванием) идеальному искаженному изображению im_b(x) и к его спектру IM_b(x) . Последний можно записать в виде

(6)

где (·) - дельта-функция; F_i,m - коэффициенты Фурье истинного изображения f(x) , являющиеся также отсчетами функции F(u) , которые рассматриваются в теореме отсчетов. Эти отсчеты берутся в точках растра (l/L₁ , m/L₂ ) в частотной плоскости. Величины H_l,m входящие в выражение (6) - это отсчеты оптической передаточной функции H(u) в тех же самых точках растра:

(7)

где l и m - произвольные целые числа.

Теперь мы можем поставить идеализированную задачу периодической деконволюции: заданы функции im_b(x) и h(x), требуется найти функцию f(x) [зная, что f(x) и h(x) - функции конечной протяженности, а im_b(x) - периодическая функция].

По заданной функции b(x) можно рассчитать функцию B(u) и сразу же найти, что

(8)

Аналогичным образом вычисляются отсчеты оптической передаточной функции H_l,m . Из выражения (6) видно, что каждое значение F_l,m дается операцией деления , которая всегда может быть выполнена, если значения H_l,m отличны от нуля. Такой простой подход адекватен в случае функций b(x) и h(x) , выбранных достаточно независимо, поскольку функция Im_b(u) в соответствии с выражением (6) фактически существует только в вышеупомянутых точках растра. Но подобный подход неприемлем в идеализированной задаче в случае конечной свертки, так как тогда B(u) - непрерывная функция переменной u.

Поэтому удивительно, что единственным условием согласованности для периодических сверток оказывается требование, чтобы величины H_l,m могли быть нулевыми только при тех значениях l и m , при которыхB_p,l,m=0 . Это условие называется условием согласованности периодических сверток. Подчеркнем, что ни одна величина .H_l,m не может быть точно равна нулю при реальном измерении функции h(x) , или, что эквивалентно, функции H(u) , так что периодические свертки всегда на практике являются согласованными (они, конечно, очень сильно зашумлены, когда большое число величин H_l,m "малы" при значениях l и m , отвечающих существенно отличным от нуля значениям величин B_p,l,m ).

Практическая задача деконволюции ставится следующим образом: заданы функции b(x) и h(x) , требуется найти функцию f(x) , зная, что - усеченный вариант функции записываемого изображения r(x).

Одно из "золотых правил" в задаче реконструкции изображений состоит в том, что следует избегать обработки данных, содержащих какие-либо разрывы непрерывности, из которых наиболее нежелательны обрезания и усечения, поскольку при их наличии почти всегда возникают ложные детали (часто называемые артефактами, особенно в медицинских приложениях). Таким образом, как правило, желательно проводить предварительную обработку изображения , чтобы по возможности полностью компенсировать все имеющиеся в них разрывы и другие устранимые дефекты.

Любой вид предварительной обработки может, конечно, вносить свой шум в добавление к искажению изображения f(x) , уже имеющемуся в записываемом изображении r(x) . Но если разрывы не устранены, то соответствующие артефакты, как правило, преобладают над любым дополнительным шумом, вносимым предварительной обработкой. "Выровненную" форму изображения обозначим здесь через a(x) и будем называть предварительно обработанным записанным изображением. Хотя в результате проведения предварительной обработки должны изменяться все три величины, редко имеется какой-либо способ оценить, насколько именно, а потому обычно не имеет смысла говорить о различии между изображениями a(x) и r(x). Далее мы будем рассматривать эти два изображения как идентичные, по крайней мере на том кадре (т. е. в той области плоскости изображения), где умещается предварительно обработанный вариант изображения смысла . Поэтому будем считать, что

(9)

Такое предположение не сказывается на общности рассуждений, поскольку шум c(x) включает эффекты произвольного аддитивного искажения, связанного с предварительной обработкой.

Теперь мы введем понятие "восстановимого истинного изображения" . Это оценка изображения f(x) , которую можно получить, исходя из изображения .

При любом рациональном подходе к решению практической задачи деконволюции сначала получают предварительно обработанное изображение a(x) из заданного изображения . Затем выбирается подходящая процедура деконволюции для получения на основе h(x) и a(x) . Некоторые из этих процедур можно рассматривать как процесс получения модифицированной функции распространения точки , которая связана с предварительно обработанным записанным изображением и восстановимым истинным изображением соотношением

(10)

Коэффициенты Фурье функции удобно обозначить через , а для обозначения спектров функций a(x) , c(x) , и использовать соответствующие заглавные буквы со "шляпкой" или без нее.

Если есть опасение, что различия между и f(x) сильно увеличатся из-за отсутствия согласованности между функциями a(x) и h(x) , взятыми явно конечными, то можно обратиться к формуле

для периодического изображения im_b(x) с заменой b на a . Тогда спектр IM_b(u) свертки дается выражением (6), но с заменой величин и величинами F_l,m и H_l,m соответственно. Напомним, что на периодические свертки не оказывает влияния несогласованность, которая, как уже говорилось, может искажать свертки величин, имеющих конечные протяженности.

Литература:

1.Бейтс Р., Мак-Доннелл М. Восстановление и реконструкция изображений: Пер. с англ. - М.: Мир, 1989. - 336 с.
2. Дьяконов В. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. - СПб.: Питер, 2002. - 608 с.

 В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу