Раздел "Обработка сигналов и изображений\Wavelet Toolbox"

К.А.Алексеев. Очерк "Вокруг CWT"
3. Оконное преобразование Фурье

В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

Недостаток анализа Фурье, обусловленный неспособностью осуществлять временную локализацию сингулярностей сигналов, может быть частично устранен путем введения в преобразование так называемого окна – движущейся функции, имеющей компактный носитель. Использование оконной функции позволяет представить результат анализа – образ Фурье – в виде функции двух переменных, а именно частоты и времени положения окна:

,                                   (1)

или с учетом обозначения

следующим образом:

.                    (2)

Проблема выбора оконной функции широко освещена в литературе [8 – 10, 12, 19] и, поскольку не является предметным вопросом настоящей лекции, более подробно здесь рассматриваться не будет. Однако представляется целесообразным повторно указать на тот факт, что введение оконной функции обеспечивает анализ Фурье техникой локализации сингулярностей по временной переменной.

На рис. 5 показана частотно-временная плоскость, на которой изображено оконное преобразование Фурье, соответствующее использованию ядра вида

,

смещенного вдоль временной оси на интервал , а также различным значениям гармоник .

Из рисунка следует, что при сдвиге окна, осуществляемого вдоль временной оси, равно как при изменении частоты модуляции ширина частотно-временного прямоугольника остается неизменной. Данное обстоятельство объясняется тем фактом, что операция преобразования Фурье в данном случае осуществляется при постоянной ширине носителя оконной функции.

Одним из примеров оконного преобразования Фурье является преобразование Габора^†, в котором роль оконной функции играет гауссиан. Преобразование Габора является одним из лучших оконных преобразований Фурье, поскольку обеспечивает наилучшую временную локализацию сигнала.

Рис. 5

Другими примерами оконных функций могут служить функции Хэмминга, Хэнинга, Кайзера, Бартлетта, Блэкмана, Чебышева и др., однако, как уже подчеркивалось, подробное изложение характеристик оконных функций, а также свойств анализа Фурье, приобретаемых вместе с введением оконной функции, достаточно легко найти в литературе, рекомендованной ранее.

В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу