Раздел "Обработка сигналов и изображений\Wavelet Toolbox"

К.А.Алексеев. Очерк "Вокруг CWT"
2. Частотно-временная плоскость

В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

Свойство вейвлет-функций осуществлять частотную и временную локализацию сигналов достаточно просто продемонстрировать на плоскости, заданной в координатах частота – время.

На данной плоскости вейвлет-функция может быть охарактеризована отрезком , равным ширине ее носителя, а также отрезком , имеющим ширину Фурье-образа функции. В этом случае изображение вейвлет-функции на частотно-временной плоскости имеет вид, показанный на рис. 1.

Рис. 1

Легко догадаться, что смещение вейвлет-функции на интервал вызывает равное перемещение прямоугольника параллельно временной оси. С другой стороны, модуляция вейвлет-функции комплексной экспонентой приводит на частотно-временной плоскости к сдвигу прямоугольника относительно оси частот на . Данное утверждение может быть доказано тем, что преобразование Фурье модулированной вейвлет-функции имеет вид:

,

где , – вейвлет-функция и ее Фурье-образ, смещенный в частотной области на . Результаты временной и частотной трансляций вейвлет-функции изображены на рис. 2.

Другое преобразование вейвлет-функции, такое как дилатация (сжатие или растяжение) приводит на частотно-временной плоскости к развороту частотно-временного прямоугольника. Так, например, сжимая вейвлет-функцию в раз, получим новую функцию:

,

энергия которой после преобразования уменьшится в раз:

.

Рис. 2

Кроме того, поскольку при сжатии функции ширина ее носителя уменьшается в раз, т.е. , ширина Фурье-образа в данном случае увеличивается в равное число раз: . Необходимо подчеркнуть, что подобное поведение вейвлет-функции и ее Фурье-образа согласуется с принципом неопределенности Гейзенберга, утверждающем, что увеличение ширины носителя функции во временной области приводит к уменьшению носителя ее образа Фурье, и наоборот.

В качестве примеров, иллюстрирующих общие принципы представления функций на частотно-временной плоскости, рассмотрим -функцию Дирака и базис Фурье.

Известно, что -функция Дирака является идеальным базисом для временного анализа континуальных сигналов, поскольку позволяет получить совокупность отсчетов сигнала (дискретизованный сигнал), рассматриваемых как временной спектр. На плоскости частота-время спектр -функции выглядит так, как показано на рис. 3. Из рисунка видно, что функция Дирака обладает свойством хорошей временной локализации, тогда как свойство частотной локализации у данной функции отсутствует (функция имеет плоский спектр). Действительно, образ Фурье -функции представляет собой константу и имеет вид:

.

В то же время, базисные функции Фурье, как раз наоборот обладают свойством хорошей частотной локализации, тогда как во времени имеют бесконечный носитель (см. рис. 4).

В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу