Femlab 2.3. Руководство пользователя (перевод с английского с редакторской правкой В.Е.Шмелева):
1.6. Краткий обзор PDE-моделей в системе FEMLAB

В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

1.6.1. Скалярные PDE в системе FEMLAB

Краевые задачи в системе FEMLAB могут представляться в трёх различных формах: коэффициентной (Coefficient form), генеральной (General form) и в форме ослабленной проекционной формулировки. Коэффициентная форма больше всего подходит для решения линейных и несущественно-нелинейных задач, генеральная - для решения существенно-нелинейных задач (в т.ч. и нестационарных). Больше всего возможностей предоставляет пользователю ослабленная проекционная формулировка. Кратко рассмотрим эти формы краевых задач.

Коэффициентная форма. Одно скалярное PDE

Пусть моделируется поле, характеризуемое только одной скалярной переменной u. Она называется зависимой переменной. Её пространственное распределение в расчётной области неизвестно и описывается дифференциальным уравнением в частных производных. Коэффициентная форма такого рода стационарной краевой задачи имеет следующий вид:

,

где - одномерная, двумерная или трёхмерная расчётная область, - её граница. Сама расчётная область может состоять из зон и внутренних границ, их разделяющих. Зоной называется солидная односвязная подобласть с однотипными материальными свойствами (коэффициентами PDE). Вектор внешней единичной нормали к границе обозначен n. Второе уравнение в системе называют граничным условием Дирихле, а третье - граничным условием Неймана.

Обобщённое граничное условие (ГУ) Дирихле называют также смешанным ГУ или иначе ГУ Робина.

Очень часто такие дифференциальные операторы, как дивергенция и градиент обозначают обобщённо символом (набла), который формально умножается на дифференцируемое поле как векторная величина:

,

где пространственные координаты x, y, … иначе называются независимыми переменными. Их количество определяет число измерений расчётной области. Сама расчётная область задаётся в модели на этапе прорисовки геометрии.

Если коэффициенты d_a, a, c, , , зависят только от пространственных координат, то PDE является линейным. Если эти же коэффициенты зависят от u или любых её дифференциальных операторов, то такое PDE является нелинейным. Если PDE нелинейно, то для улучшения сходимости рекомендуется перейти на General или Weak форму.

d_a, a, f - заданные скалярные поля; , , - заданные векторные поля; c - заданное скалярное или тензорное (второй валентности) поле; d_a - в системе FEMLAB называют коэффициентом массы. Этот коэффициент задаётся только в нестационарных краевых задачах.

В GUI-приложении femlab коэффициенты PDE можно задать командой меню Subdomain/ Subdomain Settings. Общий вид диалогового окна, разворачиваемого по этой команде в прикладном режиме 3D/ PDE Modes, показан на рис. 1.81.

Рис. 1.81. Диалоговое окно ввода коэффициентов PDE

Значения по умолчанию в строках редактирования диалогового окна (рис. 1.81) соответствуют уравнению Пуассона, однако можно легко вписывать нужные значения коэффициентов. Они могут быть различны для разных зон расчётной области. Выбирая одну или несколько зон одновременно в списке Domain selection, Вы можете задать различные коэффициенты уравнения разных зонах.

Верхний индекс T в выражении h^T в ГУ Робина означает транспонирование. Если h - скаляр, то h^T= h. - множитель Лагранжа. Часто, граничные условия могут быть переформулированы без Лагранжевых множителей, как это сделано в большинстве прикладных режимов. В проблемах структурной механики, множитель Лагранжа уравнивает силы реакции на границе. Подобные объяснения можно сделать и в других областях физики.

Рис. 1.82. Диалоговое окно ввода коэффициентов граничных условий

В GUI-приложении femlab коэффициенты граничных условий можно задать командой меню Boundary/ Boundary Settings. Общий вид диалогового окна, разворачиваемого по этой команде в прикладном режиме 3D/ PDE Modes, показан на рис. 1.82.

Значения по умолчанию соответствуют нулевым граничным условиям Дирихле, но можно легко изменить это условие. Выбирая один или несколько граничных сегментов одновременно в списке Domain selection, можно задать различные граничные условия в разных граничных сегментах.

Замечание. Коэффициенты c, , задаются в диалоговом окне Subdomain Settings.

Коэффициентная форма. Система двух скалярных PDE

Пусть некоторое физическое поле характеризуется системой двух скалярных функций u₁ и u₂. Тогда стационарная краевая задача анализа такого поля связана с решением системы следующих уравнений.

В расчётной области :

ГУ Дирихле и обобщённые ГУ Неймана на границе расчётной области :

; .

В случае системы скалярных PDE диалоговое окно Subdomain Settings состоит из большого числа закладок: для редактирования каждого матричного коэффициента - своя закладка (рис. 1.83).

Рис. 1.83. Диалоговое окно Subdomain Settings в случае матричного PDE

На рис. 1.84 показано это же диалоговое окно с ячейками редактирования векторно-матричного коэффициента .

Рис. 1.84. Закладка редактирования векторно-матричного коэффициента PDE

Вид диалогового окна Boundary Settings в случае матричного PDE показан на рис. 1.85. Первой в этом окне раскрывается закладка выбора типа ГУ.

Рис. 1.85. Диалоговое окно Boundary Settings в случае матричного PDE

Генеральная форма. Одно скалярное PDE

Генеральная форма краевой задачи в случае одного скалярного PDE имеет вид

Первое уравнение - это PDE. Второе - обобщённое граничное условие Неймана. Третье - условие Дирихле.

Термы , F, G, R называются коэффициентами. Все эти коэффициенты могут быть функциями пространственных координат и решения u, а также его пространственных производных ux, uy, uz. Коэффициенты F, G, R - скалярные, - вектор, как правило, зависящий от пространственных производных зависимой переменной u. Верхний индекс T в обобщённом ГУ Неймана означает транспонирование, которое в случае одной зависимой переменной является ненужным. - множитель Лагранжа.

В GUI-приложении femlab коэффициенты , F, G, R можно задать командой меню Subdomain/ Subdomain Settings. Общий вид диалогового окна, разворачиваемого по этой команде в прикладном режиме 3D/ PDE Modes, показан на рис. 1.86.

Рис. 1.86. Диалоговое окно ввода коэффициентов PDE в General form

Диалоговое окно ввода коэффициентов ГУ в General form представлено на рис. 1.87.

Рис. 1.87. Диалоговое окно ввода коэффициентов ГУ в General form

Генеральная форма. Система двух скалярных PDE

Пусть некоторое физическое поле характеризуется системой двух скалярных функций u₁ и u₂. Тогда стационарная краевая задача анализа такого поля связана с решением системы следующих уравнений в генеральной форме.

В расчётной области :

ГУ Дирихле и обобщённые ГУ Неймана на границе расчётной области :

; .

В случае системы скалярных PDE диалоговое окно Subdomain Settings состоит из шести закладок, две из которых предназначены для редактирования столбцовых матриц и (рис. 1.88).

Рис. 1.88. Диалоговое окно Subdomain Settings в случае системы двух скалярных PDE

На рис. 1.89 показан вид диалогового окна редактирования коэффициентов ГУ.

Рис. 1.89. Диалоговое окно Boundary Settings в случае системы двух скалярных PDE

Нестационарные уравнения

Если в левую часть стационарного PDE вставить динамический член, содержащий производную по времени, то получится нестационарное PDE. Система FEMLAB поддерживает решение таких нестационарных уравнений, у которых динамический член линейный. Остальная часть PDE может быть нелинейной. Граничные условия Дирихле также должны быть линейными. Таким образом, коэффициентная форма нестационарной скалярной краевой задачи имеет вид

.

Как видно, переход к нестационарной краевой задаче связан не только со вставкой динамического члена, но и с добавлением ещё одного уравнения, называемого начальными условиями. Здесь t₀ - начальный момент времени моделирования. u₀ - заданная функция пространственных координат. Коэффициент d_a в терминологии FEMLAB называется "коэффициентом массы". В случае системы скалярных PDE u - матрица-столбец анализируемых скалярных полей, d_a - "матрица масс".

Если Вы создали стационарную модель, любые выражения, вписанные в поле редактирования для коэффициента d_a, будут игнорироваться. Коэффициент d_a может быть активизирован, если модель преобразовать в нестационарную. Это можно сделать, выбрав в диалоговом окне Solver Parameters тип решателя Time dependent. Это можно сделать также, редактируя параметры текущего прикладного режима с помощью закладки Multiphysics Навигатора моделей, которая раскрывается командой меню Multiphysics/ Add/Edit Modes.

Генеральная форма нестационарной скалярной краевой задачи имеет вид

Генеральная форма в случае системы двух скалярных PDE имеет вид

- матрица масс.

Особый интерес представляет случай, когда матрица d_a сингулярная. В этом случае система PDE называется системой дифференциально-алгебраических уравнений (DAE). FEMLAB предоставляет пользователю ряд решателей систем DAE: fldaspk, fldae и решатель MATLAB ode15s.

Волновое расширение нестационарного уравнения

Если в динамическом члене нестационарного PDE первую производную по времени заменить на вторую, то получится волновое уравнение:

.

В системе FEMLAB повышение порядка производной по времени в динамическом члене осуществляется введением новой зависимой переменной:

Эта система уравнений создаётся автоматически при выборе формы PDE Wave Extension в соответствующей закладке (New или Multiphysics) Навигатора моделей (ниспадающее меню Submode).

Уравнение задачи на собственные значения

Коэффициентная форма такого уравнения имеет вид

,

где - неизвестные собственные значения.

В случае генеральной формы производится линеаризация системы в окрестности точки равновесия.

Ослабленная проекционная формулировка

В системе FEMLAB дифференциальные уравнения в частных производных решаются проекционным методом Галёркина с конечными элементами. Этот метод является одним из важнейших частных случаев методов взвешенных невязок. Если говорить совсем коротко, то суть этого метода заключается в том, что весовые функции здесь равны функциям формы, с помощью которых осуществляется конечноэлементная интерполяция. Пусть имеется стационарный вариант скалярной краевой задачи

Если к дифференциальному уравнению применить метод Галёркина с конечными элементами, а также теорему о дивергенции и правила дифференцирования, то получим

,

(1.6.1.1)

где [N] - матрица-строка функций формы конечных элементов, [N]^T - матрица-столбец весовых (пробных) функций. Такой выбор пробных функций гарантирует их линейную независимость. Вся совокупность весовых функций образует косой координатный базис в гильбертовом пространстве функций. Равенство нулю выражения в правой части означает ортогональность невязки решения дифференциального уравнения со всеми "векторами" координатного базиса. Это возможно только в двух случаях: 1) невязка равна нулю, что соответствует точному решению PDE; 2) невязка не принадлежит построенному гильбертову пространству. В последнем случае невязка стремится к нулю, если число узлов конечноэлементной сетки стремится к бесконечности при конечном объёме расчётной области.

Полученное матричное интегральное уравнение содержит пространственные дифференциальные операторы только первого порядка за счёт того, что часть операций дифференцирования перенесено на весовые функции. Такая форма интегральных матричных уравнений, дополненная граничными условиями Дирихле, называется ослабленной проекционной формулировкой краевой задачи (Weak form).

Фактически система FEMLAB преобразует любое PDE к виду, подобному (1.6.1.1), формирует из него глобальное матричное уравнение относительно узлового распределения искомых величин (в случае стационарной задачи). Если задача нестационарная, то из (1.6.1.1) формируется большое матричное ОДУ или DAE. Затем всё это решается. С этой точки зрения простой переход от коэффициентной формы к (1.6.1.1) пользователю ничего не даёт.

Чтобы переход к Weak form давал пользователю новые возможности моделирования физических полей, в системе FEMLAB предусмотрено следующее. 1) В подынтегральных выражениях разрешается записывать производные по времени первого порядка от искомых скалярных полей; разрешается также вписывать смешанные пространственно-временные производные. 2) Для обеспечения возможности учёта поверхностных, криволинейных и точечных источников поля, а также возможности моделирования разрывных полей (с неподвижными разрывами) в форму (1.6.1.1) разрешено добавлять криволинейные и точечные интегралы. Применительно к общей форме нестационарного PDE это расширение ослабленной проекционной формулировки имеет вид

,

где - трёхмерная расчётная область (объединение всех зон), - объединение всех внешних и внутренних граничных поверхностей расчётной области, - объединение всех рёбер расчётной области, P - точечные объекты; W^(kt) - подынтегральные выражения относительно производных по времени и смешанных пространственно-временных производных искомых скалярных полей; W^(k) - подынтегральные выражения относительно искомых скалярных полей и их пространственных дифференциальных операторов. Каждое слагаемое этих выражений должно содержать в качестве множителя абстрактную переменную весовой функции или её пространственного дифференциального оператора первого порядка.

Рис. 1.90. Закладка Weak диалогового окна Subdomain Settings

Для представления краевой задачи в виде ослабленной проекционной формулировки в GUI-приложении femlab предусмотрены специальные прикладные режимы. В закладке New Навигатора моделей они называются Weak Modes. В закладке Multiphysics они называются "Weak, subdomain", "Weak, boundary", "Weak, edge", "Weak, point", "Weak, boundary constraint". GUI-приложение femlab поддерживает также смешанную форму представления краевой задачи: Coefficient + Weak и General + Weak. Для этого в диалоговых окнах Point Settings, Edge Settings, Boundary Settings и Subdomain Settings предусмотрены закладки Weak.

В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу