Femlab 2.3. Руководство пользователя (перевод с английского с редакторской правкой В.Е.Шмелева):
1.5. Моделирование в системе FEMLAB

В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

1.5.4. Стационарный поток несжимаемой жидкости

Здесь исследуется двумерная модель стационарного потока несжимаемой жидкости. Эта модель представляет эталонную тестовую задачу в области вычислительной гидроаэродинамики. На рис. 1.5.4.1 изображено продольное сечение плоскопараллельного канала, в который жидкость втекает слева с параболическим профилем скорости и вытекает через правую границу.

Рис. 1.5.4.1. Канал с жидкостью

В этом примере вычисляются компоненты скорости u = 1_x u+1_y v = (u,v) в декартовой системе координат (x,y) и давление жидкости p в области, показанной на рис. 1.5.4.1. Поток несжимаемой жидкости описывается системой уравнений Навье-Стокса:

,

где - динамическая вязкость, - плотность жидкости, u - векторное поле скоростей, p - давление, F - объёмная плотность силы, действующей на жидкость (примером реального силового поля может быть сила тяжести). Первое уравнение является следствием второго закона Ньютона (динамическое равновесие сил и импульсов). Второе соотношение - уравнение непрерывности линий скорости. Оно отражает свойство несжимаемости жидкости.

Форма линий потока жидкости зависит от безразмерной величины

,

которая называется числом Рейнольдса. Длина L соответствует размеру интересующей области пространства. Скорость U соответствует характерной скорости потока жидкости.

Зададим граничные условия так, чтобы на входе в поток (граничный сегмент № 1 на рис. 1.5.4.1) профиль скорости описывался уравнениями u = 4s(1-s), v = 0, на стенках канала (граничные сегменты №№ 2, 3, 4, 5) скорость равна нулю (u = 0, v = 0). На выходе потока (граничный сегмент № 6) давление равно нулю (p = 0). Здесь s - параметр кривой, который для отрезка изменяется в пределах от 0 до 1.

Ширина пограничного слоя поля скоростей вблизи стенок канала обратно пропорциональна квадратному корню числа Рейнольдса. Для моделирования потока с большим градиентом поля скоростей поперечное сечение канала должно быть разбито как минимум на 10 конечных элементов. Для потока с большим числом Рейнольдса элементы во внутренней области канала могут быть намного больших размеров, чем около стенок. Для повышения численной устойчивости решения уравнений Навье-Стокса при больших значениях числа Рейнольдса (1000 и более) используется механизм направленной диффузионной стабилизации, описанный в Справочном руководстве.

Навигатор моделей

Рис. 1.5.4.2. Вид окна Навигатора моделей с выбранным прикладным режимом

Закладка New Навигатора моделей раскрывается в результате запуска GUI-приложения femlab или в результате выполнения команды меню File/ New. В закладке New Навигатора моделей выбираем прикладной режим Physics Modes/ Incompressible Navier-Stokes (рис. 1.5.4.2). Эта группа прикладных режимов предназначена для моделирования установившихся и переходных режимов потоков несжимаемых жидкостей. В данном примере моделируется стационарный двумерный поток. В общем случае вязкость может зависеть от многих факторов, в т.ч. и от дифференциальных операторов поля скоростей. В последнем случае жидкость называется не-ньютоновской (например, йогурт, бумажная пульпа, полимерные растворы, взвеси и эмульсии). В рассматриваемом примере вязкость постоянна, что соответствует ньютоновской жидкости.

Параметры и настройки

Для настройки параметров координатной сетки выполним команду Options/ Axes/Grid Settings. В закладке Axis развёрнутого диалогового окна установим значения, показанные на рис. 1.5.4.3. В закладке Grid установим значения в соответствии с рис. 1.5.4.4.

Рис. 1.5.4.3. Закладка Axis диалогового окна Axes/Grid Settings

Рис. 1.5.4.4. Закладка Grid диалогового окна Axes/Grid Settings

Выполнив команду меню Options/ Add/Edit Constants, создадим константу с именем Re, равную 10 (более подробно последовательность действий по созданию констант изложена в п. 1.5.2, 1.5.3). Эта константа будет в дальнейшем использоваться при задании вязкости жидкости.

Режим прорисовки геометрии

Для прорисовки геометрии расчётной области воспользуемся инструментальной панелью рисования. Нажмём кнопку . Указатель мыши поместим в точку (0,1). Далее при нажатой левой кнопке последовательно переместим указатель мыши в точки (0,2), (13,2), (13,0), (3,0), (3,1). В этих точках кнопку мыши нужно отпускать. Завершается построение многоугольника отпусканием кнопки или нажатием правой кнопки мыши. В результате этих действий будет создан солидный двумерный объект с именем CO1 (рис. 1.5.4.5).

Рис. 1.5.4.5. Фигура femlab с прорисованной геометрией расчётной области

Режим задания граничных условий

Выполнение команды меню Boundary/ Boundary Settings автоматически переводит GUI-приложение femlab в режим Boundary Mode и разворачивает диалоговое окно ввода граничных условий. Вид этого окна с установленными параметрами граничных условий для сегмента № 1 показан на рис. 1.5.4.6.

Рис. 1.5.4.6. Диалоговое окно ввода граничных условий

Для сегментов 2, 3, 4, 5 в представленном диалоговом окне нужно включить радиокнопку u,v=0 (No-slip). Для сегмента № 6 нужно включить радиокнопку p (Outflow/ pressure) и в соответствующую строку редактирования нужно ввести значение 0.

Режим задания параметров материальных свойств

Выполнение команды меню Subdomain/ Subdomain Settings автоматически переводит GUI-приложение femlab в режим Subdomain Mode и разворачивает диалоговое окно ввода параметров материальных свойств. Вид этого окна с установленными параметрами: вязкостью, плотностью и объёмной плотностью вынуждающей силы, - показан на рис. 1.5.4.7.

Рис. 1.5.4.7. Диалоговое окно ввода параметров материальных свойств

Установка флага Streamline diffusion включает механизм направленной диффузионной стабилизации решения. Как видно, по умолчанию этот флаг сброшен.

Система уравнений Навье-Стокса является нелинейной, поэтому для её решения используется нелинейный решатель. Начальное приближение этого решателя берётся из начальных условий. Значит, выбор начальных условий влияет на сходимость итерационного процесса. Для задания начальных условий в диалоговом окне Subdomain Settings имеется закладка Init. Откроем эту закладку и зададим начальные условия, как показано на рис. 1.5.4.8.

Рис. 1.5.4.8. Закладка Init диалогового окна Subdomain Settings

Режим генерации конечноэлементной сетки

Для построения сетки нужного качества достаточно нажать кнопки и главной инструментальной панели (последнюю кнопку нужно нажать два раза). В этом случае в узком месте поток будет разбит на 8 элементов, а в широком - на 16. Вид окна фигуры femlab с конечноэлементной сеткой показан на рис. 1.5.4.9.

Рис. 1.5.4.9. Конечноэлементная сетка в расчётной области

Решение

Для решения задачи достаточно нажать кнопку главной инструментальной панели.

В ходе решения в протоколе сообщений будут появляться записи о том, как в процессе итераций ошибка вычисления уменьшается.

Визуализация решения и постпроцессорная обработка

Сразу после завершения процесса решения в поле axes фигуры femlab будет построена цветная картина распределения поля модуля скоростей (рис. 1.5.4.10).

Рис. 1.5.4.10. Цветовая визуализация скалярного поля модуля скорости

Есть возможность одновременной визуализации поля давлений и поля скоростей. Выполним команду меню Post/ Plot Parameters. Развернётся диалоговое окно Plot Parameters. Откроем в этом окне закладку Surface. В ниспадающем меню Surface expression выберем пункт pressure (p) и установим флаг Max/ min marker. В закладке Arrow установим флаг Arrow plot. Нажатие кнопки OK приведёт к закрытию диалогового окна и построению картины, изображённой на рис. 1.5.4.11.

Рис. 1.5.4.11. Одновременная визуализация поля скоростей и поля давлений

Как видно из рис. 1.5.4.11, решение задачи при Re = 10 достаточно устойчиво. Попробуем решить задачу при Re = 1000. Выполним команду меню Options/ Add/Edit Constants. В раскрытом диалоговом окне значение константы Re заменим на 1000. Нажмём кнопки Set, OK для закрытия окна. Выполним команду меню Post/ Plot Parameters. В закладке General развёрнутого диалогового окна установим флаг Contour plot. В закладке Contour в ниспадающем меню Contour expression выберем пункт velocity field (U) и установим флаг Max/ min marker. В строку редактирования Contour levels введём число 19. Нажатием кнопки OK переведём GUI-приложение femlab в нужный режим визуализации и закроем диалоговое окно.

Решение задачи запустим кнопкой главной панели инструментов. В результате решения будет построена картина поля скоростей, изображённая на рис. 1.5.4.12. Рестарт решения можно выполнить, нажав кнопку главной инструментальной панели. Рестартом называется повторный запуск решения, начальным приближением которого является результат предыдущего решения. Многократно нажимая кнопку и дожидаясь завершения вычислительного процесса, увидим, что каждый раз картина поля скоростей будет меняться. Это изменение является проявлением численной неустойчивости моделирования потоков при больших значениях числа Рейнольдса. Этот вычислительный эффект получил название неустойчивости Кельвина-Гельмгольца. В системе FEMLAB подобные эффекты подавляются при помощи механизма направленной диффузионной стабилизации решения.

Рис. 1.5.4.12. Поле скоростей при Re = 1000, рассчитанное без применения стабилизации

Выполним команду меню Subdomain/ Subdomain Settings и в развёрнутом диалоговом окне установим флаг Streamline diffusion. Нажатием кнопки OK закроем диалоговое окно. Выполним команду меню Solve/ Parameters. В закладке General установим флаг Streamline diffusion. Нажатием кнопки OK закроем диалоговое окно и кнопкой запустим решение. После завершения вычислительного процесса получим картину поля скоростей, изображённую на рис. 1.5.4.13.

Рис. 1.5.4.13. Поле скоростей при Re = 1000, рассчитанное с применением стабилизации

Решение, полученное с применением механизма направленной диффузионной стабилизации, обладает достаточной численной устойчивостью. Картина поля скоростей, полученная в результате рестарта, практически не отличается от изображённой на рис. 1.5.4.13.

Существенный интерес представляет визуализация решения в виде линий потока. Выполним команду меню Post/ Plot Parameters. В закладке General развёрнутого диалогового окна сбросим флаг Contour и установим флаг Flow lines. Нажатие кнопки OK приведёт к закрытию окна и построению картины, изображённой на рис. 1.5.4.14. На рисунке видно, что некоторые линии потока являются замкнутыми, и в некоторых областях расчётной области вектор скорости направлен против основного потока жидкости. Поле скоростей носит вихревой характер. Такие потоки жидкостей и газов называются турбулентными. Турбулентность является общим свойством потоков с большим числом Рейнольдса.

Рис. 1.5.4.14. Визуализация решения в виде линий потока

В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу