Femlab 2.3. Руководство пользователя (перевод с английского с редакторской правкой В.Е.Шмелева):
1.1. Руководство быстрого начала работы с FEMLAB

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

1.1.3. Дифференциальное уравнение в частных производных

Модель, рассмотренная в п. 1.1.1, основана на линейной стационарной версии уравнения теплопроводности относительно температуры T. В терминологии системы FEMLAB переменная, относительно которой решается PDE, называется зависимой переменной, а пространственные координаты и время – независимые переменные. Стационарное дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид:

,                                                            (1.1)

где Q – объёмная плотность мощности тепловых источников, Вт/м³;
k – коэффициент теплопроводности вещества, Вт× м^–1× К^–1.

Если пространственные координаты измерять в миллиметрах, то Q и k нужно выражать в Вт/мм³ и Вт× мм^–1× К^–1 соответственно (так было сделано в п. 1.1.1). В рассмотренном примере уравнение (1.1) было дополнено граничными условиями первого рода (граничными условиями Дирихле):

T = T₀,

где T₀ – распределение температуры на границе расчётной области (в рассмотренном примере T₀ = 273 К).

В GUI-приложении femlab в прикладном режиме теплопередачи поддерживается также и другой тип граничных условий:

,        (1.2)

где n – вектор единичной нормали к границе расчётной области,
q₀ – фиксированная (независимая) составляющая плотности потока тепловой мощности через граничную поверхность;
h₀ – коэффициент кондуктивного или конвективного теплообмена расчётной области с окружающей средой;
h_и – коэффициент теплообмена излучением с окружающей средой;
T_inf, T_amb – значения температуры окружающей среды, которые при моделировании обычно принимаются равными.

(1.2) называется граничным условием второго рода (граничным условием Неймана). Граничные условия первого и второго рода достаточно полно описывают взаимодействие расчётной области с окружающей средой.

Уравнения всех прикладных режимов работы GUI-приложения femlab являются частным случаем обобщённого PDE, поддерживаемого системой FEMLAB. Обобщённое стационарное скалярное PDE имеет вид:

,                          (1.3)

где u – искомая скалярная величина; c – заданное скалярное или тензорное (второй валентности) поле, обычно характеризующее одно из материальных свойств вещества; – заданное векторное поле (обычно характеризует конвективные свойства); – заданное векторное поле, выполняющее роль источника скалярного поля u (в электростатической задаче это вектор остаточной поляризованности вещества); a – заданное скалярное поле (в пространственно-частотных PDE выполняет роль динамического коэффициента); – заданное векторное поле (обычно это векторный коэффициент конвекции); f – скалярный источник искомого поля u.

Если сравнить (1.3) с (1.1), то можно заметить, что в стационарной задаче теплопроводности нет смысла задавать коэффициенты , , , a, т.к. они равны нулю. Их нет даже в диалоговом окне ввода коэффициентов PDE, однако если включен режим PDE/ View as PDE Coefficients, то они появляются в соответствующем диалоговом окне. Коэффициентам c и f в (1.3) соответствуют k и Q в (1.1). Коэффициент k в прикладном режиме теплопроводности также может задаваться в тензорной форме, если вещество обладает анизотропными теплопроводящими свойствами. В последнем случае в соответствующую строку ввода (см. рис. 1.12, 1.13) записывается четыре значения (или выражения), разделённых пробелами: k_xx k_xy k_yx k_yy .

Обобщённое граничное условие Дирихле имеет вид:

h u = r                                                                                          (1.4)

Обобщённое граничное условие Неймана имеет вид:

                                          (1.5)

(1.3), (1.4), (1.5) – коэффициентная форма обобщённого PDE и граничных условий. В системе FEMLAB поддерживается также общая форма PDE и граничных условий. Коэффициентную форму удобнее всего применять при решении линейных или несущественно-нелинейных краевых задач. Для задания существенно-нелинейных PDE или граничных условий удобнее применять общую форму.

В прикладном режиме теплопередачи в (1.5) q=0, , g представляет собой правую часть (1.2).

Если Вы работаете с моделью в недостаточно общем прикладном режиме, то можно переключиться в режим редактирования коэффициентов или граничных условий обобщённого PDE. Это бывает полезно при мультифизическом моделировании, если нужно представить не предусмотренные прикладным режимом связи между моделируемыми полями.

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу