Раздел "Проектирование систем управления\Control System Toolbox"

Е.В.Никульчев. Пособие "Control System Toolbox"
Динамические и частотные характеристики систем автоматического управления

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

Краткие сведения из теории

Рассмотрим систему автоматического управления (САУ), описываемую линейным (линеаризованным) дифференциальным уравнением вида:

   (1)

где u(t) – входной процесс, y(t) – выходной процесс, a_i, b_j, () – постоянные коэффициенты,
n, m (n >=m) – постоянные числа. В операторной форме выражение (1) может быть записано –

.

Здесь D – оператор дифференцирования . Отсюда преобразование “вход-выход” системы –

,                                                                                                      (2)

W(D) называется операторной передаточной функции.

Один из способов моделирования систем заключается в представлении преобразования “вход-выход” в виде комплексной передаточной функции:

,                                                                                                            (3)

которая получается путем применения преобразования Лапласа к (2) при начальных нулевых условиях. Здесь s - комплексная переменная. Связь между операторной (2) и комплексной (3) передаточными функциями можно записать в виде

.

Комплексные числа, являющиеся корнями многочлена В(s), называются нулями передаточной функции, а корни многочлена A(s) – полюсами.

Динамические свойства систем характеризуют реакции на входные воздействия специального вида. В частности анализ выхода системы на единичный скачок и d -функцию (дельта-функцию).

Пусть u(t) = 1(t), то есть на вход системы подается функция Хевисайда (единичный скачок), определяемая

График функции Хевисайда приведен на рис. 1.1. Реакция САУ на единичный скачок называется переходной функцией системы и обозначается h(t).

Рис. 1.1. Функция Хевисайда

Рис. 1.2. Функция Дирака

Если u(t) = d (t), то есть на вход системы поступает функция Дирака (d -функция, импульсная функция, рис. 1.2) определяемая

то реакция САУ называется импульсной переходной функцией системы и обозначается w(t).

Импульсная и переходная функции системы связаны соотношением:

.

Благодаря широкому применению при исследовании устойчивости динамических систем и проектировании регуляторов получили распространение частотные характеристики.

Пусть на вход системы с передаточной функцией W(s) подается гармонический сигнал

u(t) = a_u cos(w t), t >0.

В этих условиях справедлива следующая теорема: Если звено является устойчивым, то установившаяся реакция y(t) на гармоническое воздействие является функцией той же частоты с амплитудой

a_y = a_u |W(iw )|,

и относительным сдвигом по фазе

y = arg W(iw ).

Таким образом:

y(t) = a_u |W(iw )| cos(w t + arg W(iw )),

где i – комплексная единица, – частотная характеристика.

Частотной характеристикой W(iw ) стационарной динамической системы называется преобразование Фурье переходной функции:

,

где w(t – t ) – импульсная переходная функция.

Связь между комплексной передаточной функцией и частотной характеристикой определяется соотношением:

При фиксированном значении w частотная характеристика является комплексным числом, и, следовательно, может быть представлена в виде

.

Здесь

– амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);

– фазово-частотная характеристика (ФЧХ);

– вещественная частотная характеристика (ВЧХ);

– мнимая частотная характеристика (МЧХ).

Геометрическое место точек W(iw ) на комплексной плоскости при изменении w  от w ₀ до от w ₁ (обычно
w ₀ = 0, w ₁ =  ), называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) или частотным годографом Найквиста.

Имеет широкое практическое значение диаграмма Боде (логарифмическая амплитудная характеристика, ЛАХ), которая определяется как L = 20 lg A(w ), измеряется в децибелах и строится как функция от lg w..

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу