Ряды нормализаторов в конечных группах и проблема Стройновского

Ряды нормализаторов в конечных группах и проблема Стройновского
выполнили: доцент, к.ф.-м.н. Коновалов А.Б., Цапок Анастасия, 4 курс
Запорожский государственный университет

Архив разработки (14 кб, Word)

В статье построен контрпример для проблемы А. Стройновского (Варшавский университет): пусть G — группа, H Í G — ее подгруппа. Рассмотрим ряд нормализаторов H < N_G(H) < N_G(N_G(H)) < …, и обозначим его объединение через HN. Пусть теперь A Í G — подгруппа, для которой H < < A. Всегда ли выполняется условие A Í HN ? Контрпример найден с помощью системы компьютерной алгебры GAP.

Пусть G - группа, H Í G - ее подгруппа. Подгруппа N_G(H) = {g Î G | " h Î H g^-1hg Î H } называется нормализатором подгруппы H в групе G. Если N_G(H) = G, то H называется нормальной подгруппой групы G, что обозначается H < G. Подгруппа H группы G называется субнормальной подгруппой, что обозначается H < < G, если она содержится в субнормальном ряде группы G, т.е. в таком ряде подгрупп

G = U₁ Ê U₂ Ê … U_n Ê U_n₊₁ Ê …,

где каждая подгруппа U_i₊₁ нормальна в подгруппе U_i.

В 2000 г. А. Стройновский (Варшавский университет) предложил следующую проблему: пусть G — произвольная группа, H Í G — ее подгруппа. Рассмотрим ряд нормализаторов

H < N_G(H) < N_G(N_G(H)) < … ,

и обозначим через объединение всех подгрупп из этого ряда, которое назовем гипернормалью подгруппы H в группе G . Пусть теперь A Í G — подгруппа такая, что H < < A. Всегда ли выполняется следующее условие:

A Í HN ? (*)

Он же предположил, что существует контрпример, который можно найти с помощью ЭВМ.

Для поиска контпримера была использована система компьютерной алгебры GAP [1]. Эта система, название которой означает "Группы, алгоритмы и программирование", была задумана как инструмент комбинаторной теории групп в 1986 г., и в дальнейшем была распространена и на другие разделы алгебры. GAP - свободно распространяемая открытая система, кроме того, одним из ее компонентов является специальный язык программирования, который также называется GAP, на котором можно создавать собственные программы и расширять систему.

Группы в GAP могут быть заданы в разных формах, например, в виде групп подстановок, матричных групп, групп, заданных порождающими элементами и определяющими соотношениями. Среди функций для работы с группами — вычисление порядка группы, классов сопряженных элементов, центра и коммутанта группы, рядов подгрупп, Силовских подгрупп, максимальных подгрупп, нормальных подгрупп, групп автоморфизмов, решеток подгрупп, и др. Для многих конечных групп можно определить их тип изоморфизма.

Дальнейшая информация о системе может быть найдена в методическом пособии [2], а также на личной странице одного из авторов [3] и на странице Украинской группы пользователей GAP [4].

Для поиска контрпримера было решено начать проверку с неразрешимых групп подстановок из библиотеки конечных групп системы компьютерной алгебры GAP, среди которых с большей вероятностью ожидался контрпример. Алгоритм проверки для каждой отдельной группы состоял из следующих этапов:

Вычисление списка подгрупп заданной группы;
Отбор всех подгрупп H, которые не являются субнормальными в G;
Отбор всех подгрупп A таких, что H < < A, для каждой подгруппы H, найденной в п.2;
Проверка условия A Í HN для каждой такой подгруппы A и соответствующей гипернормали HN.

Проверка прекращается, когда будет найдена пара подгрупп A и N, для которых не выполняется условие A Í HN.

Этот алгоритм был реализован в программе на языке GAP. Разработанная программа состоит из двух функций:

1. Функции Row(G,H), возвращающей ряд нормализаторов { H, N_G(H), N_G(N_G(H)), … } подгруппы H в группе G, например:

gap> G:=SymmetricGroup(6);

Sym( [ 1 .. 6 ] )

gap> H:=Subgroup(G,[(1,2,3)]);

Group([ (1,2,3) ])

gap> Row(G,H);

[ Group([ (1,2,3) ]), Group([ (1,2,3), (5,6), (4,5,6), (2,3)(5,6) ]),

Group([ (1,3,2), (4,5), (4,5,6), (2,3)(4,5), (1,4,3,6)(2,5) ]) ]

Так как группа конечна, процесс построения ряда завершается, когда получаем самонормализующуюся подгруппу K, для которой K=N_G(K).

2. Функции Test(G), проверяющей выполнение условия (*) для группы G. Если условие выполняется, функция возвращает значение true, в противном случае она возвращает подгруппы Н та А, для которых не выполняется условие (*). Пример работы с этой функцией приведен ниже..

Кроме указанных функций, в программе используются стандартные библиотечные функции системы GAP:

1. Функция ConjugacyClassesSubgroups(G), возвращающая список классов сопряженных подгрупп группы G, например:

gap> G:=SymmetricGroup(3);

Sym( [ 1 .. 3 ] )

gap> ConjugacyClassesSubgroups(G);

[ Group( () )^G, Group( [ (2,3) ] )^G, Group( [ (1,2,3) ] )^G,

SymmetricGroup( [ 1 .. 3 ] )^G ]

Аргументом этой функции может быть не только группа, но также и решетка подгрупп группы (см. ниже).

2. Функция IsSubnormal(G,U), проверяющая, является ли U субнормальной подгруппой группы G.

3. Функция IsSubset(G,U), проверяющая, является ли U подмножеством G. Фактически, в программе можно было бы использовать функцию IsSubgroup(G,U), которая возвращает true, если U является группой, которая, в свою очередь, является подмножеством алгебраической структуры G. Это реализуется с помощью проверки условия IsGroup(U) and IsSubset(G,U), однако для IsSubset доступны специальные методы, которые проверяют только порождающие элементы U, если G замкнуто относительно групповой операции. Поэтому в ряде случаев, например, когда уже известно, что U является группой, лучше использовать только IsSubset.

4. Функция LatticeSubgroups(G), вычисляющая решетку подгрупп группы G, например:

gap> g:=SymmetricGroup(4);

gap> l:=LatticeSubgroups(g);

Эта решетка содержит классы сопряженных подгрупп как атрибут ConjugacyClassesSubgroups.

5. Функция Normaliser(G,U), возвращающая нормализатор подгруппы U в группе G, например:

gap> G:=SymmetricGroup(4);

Sym( [ 1 .. 4 ] )

gap> H:=Subgroup(G,[(1,2,3)]);

Group([ (1,2,3) ])

gap> Normalizer(G,H);

Group([ (1,2,3), (2,3) ])

Текст программы, разработанной для поиска контрпримера, приведен ниже.

Row:=function(G,H)

local i, # параметр цикла

Row, # ряд нормализаторов

T; # текущая подгруппа, нормализатор которой вычисляется

Row:=[]; # создаем пустой список

T:=H; # начинаем с подгруппы H

i:=0; # начальное значение параметра цикла

repeat

i:=i+1; # переход к следующему эл-ту ряда нормализаторов

Row[i]:=T; # его запись

T:=Normalizer(G,T); # вычисление его нормализатора

until T=Row[i]; # проверка, является ли он самонормализующимся

return Row;

end;

Test:=function(G)

local A, # подгруппа из списка всех подгрупп группы G

c, # класс сопряженных подгрупп

# из списка классов сопряженных подгрупп

H, # подгруппа из списка всех подгрупп группы G

m, # список классов сопряженных подгрупп

res, # результат проверки условия (*)

row, # ряд нормализаторов подгруппы H в группе G

s; # список всех подгрупп группы G

LatticeSubgroups(G); #решетка подгрупп группы G

Print("Subgroup lattice calculated \n");

m:=ConjugacyClassesSubgroups(G); #классы сопряженных подгрупп группы G

Print("ConjugacyClassesSubgroups calculated \ n");

# Создание списка всех подгрупп группы G

s:=[]; #создаем пустой список

for c in m do

Append(s,AsList(c)); #присоединяем к нему по одному элементу

od;

# Перебор пар (H,A) и проверка для них условия (*)

for H in s do

if IsSubnormal(G,H)=false then #H субнормальная => HN=G

#поэтому не проверяем

for A in s do

if IsSubset(A,H)=true then #отбираем A, которые содержат H

if IsSubnormal(A,H) then #отбираем A, где H субнормальная в A

row:=Row(G,H); #если такая A найдена, вычисляем HN

res:=IsSubset(row[Length(row)],A); #проверяем условие (*)

if res=false then #возвращаем найденный контрпример

Print("H: ", H, "\n", "A: ", A, "\n");

return [H,A];

fi;

od;

fi;

od;

return true; #контрпример не найден

Работа с программой демонстрируется такими примерами. Сначала зададим симметрическую группу подстановок третьего порядка S₃ и проверим для нее условие (*).

gap> S3:=SymmetricGroup(3);

Sym( [ 1 .. 3 ] )

gap> Test(S3);

Subgroup lattice calculated

ConjugacyClassesSubgroups calculated

true

Видим, что для симметрической группы подстановок третьего порядка условие (*) выполняется для всех ее подгрупп. Теперь проверим условие (*) для симметрической группы подстановок пятого порядка S₅:

gap> S5:=SymmetricGroup(5);

Sym( [ 1 .. 5 ] )

gap> Test(S5);

Subgroup lattice calculated

ConjugacyClassesSubgroups calculated

H: Group( [ (4,5) ] )

A: Group( [ (4,5), (2,3), (2,4)(3,5) ] )

[ Group([ (4,5) ]), Group([ (4,5), (2,3), (2,4)(3,5) ]) ]

В результате видим, что условие (*) не выполняется для таких подгрупп: H = < (4,5) > та А= < (4,5), (2,3), (2,4)(3,5) >. Действительно, N_G(H)=< (2,3),(1,2),(4,5) > и состоит из подстановок e , (4,5), (2,3), (2,3)(4,5), (1,2), (1,2)(4,5), (1,2,3), (1,2,3)(4,5), (1,3,2), (1,3,2)(4,5), (1,3) и (1,3)(4,5). При этом N_G(H)=N_G(N_G(H)), следовательно, HN=N_G(H). С другой стороны, A состоит из подстановок e , (4,5), (2,3), (2,3)(4,5), (2,4)(3,5), (2,4,3,5), (2,5,3,4), (2,5)(3,4), где последние 4 подстановки не содержатся в HN. Таким образом, контпример найден.

Литература

The GAP Group, GAP - Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.2, Aachen, St Andrews, 1999, (http://www.gap-system.org).
Коновалов А.Б. Система компьютерной алгебры GAP. Методические указания. Запорожье, ЗГУ, 1999. - 42 с.
http://www.zsu.zp.ua/ppages/konoval/konov.htm
http://www.zsu.zp.ua/UkrGAP/

В начало