Архив разработки (61 кб, Matlab 5.3, Word)

Содержание

1. Математическая модель

2. Методика учета отрыва электронной и ионной температур

3. Конечно-разностное решение

4. Литература

Математическая модель

Для расчета дуги используется уравнение Эленбааса-Геллера с учетом выноса энтальпии, и уравнение движения (уравнение Навье-Стокса) [1,2]. Последнее записано с учетом следующих предположений: учитывается только градиент давления и вязкостный член, предполагается, что ,,. Получаем следующую систему:

(1.1)

(1.2)

Таким образом, получив распределение скоростей V(r) из (1.2) из (1.1) можно получить распределение температуры. Необходимо учитывать, что вязкость в (1.2) есть функция температуры, то есть (1.1) и (1.2) взаимосвязаны, и для их решения необходимо использовать метод итераций или установления.

Полагая, что не зависит от r, (1.2) и учитывая, что V(R)=0 (гипотеза прилипания) можно проинтегрировать:

(2)

Сделаем еще одно упрощение, заменив частные производные по z в (1.1) и (2) конечными приращениями, и записав правую часть (1.1) в усредненном виде:

(3.1)

(3.2)

Здесь (3.3) - расход; (3.4) - среднемассовая энтальпия, L - длина канала, R- радиус канала. Кроме того, приведем (3.1) к квазилинейному виду, сделав замену [2] - тепловая функция (функция Кирхгофа). Тогда система уравнений, которую необходимо решить для построения профиля скорости и температуры (в выходном сечении) будет иметь следующий окончательный вид:

(4.1)

(4.2)

Граничные условия:

(4.3)

(4.4)

Условие (4.3) - температура стенки, условие (4.4) - условие симметрии на оси.

Решив систему (4) для заданных E, R, D p и L, можно, помимо G и найти следующие параметры плазмотрона:

Ток (5)

Кондуктивный тепловой поток в стенку: (6)

Тепловой поток излучения в стенку: (7)

Полный тепловой поток на стенку: (8)

Электрическая мощность: (9)

Где - сумма приэлектродных падений потенциала (принято )

Тепловой КПД: (10)

Методика учета отрыва электронной и ионной температур [Зимин А. М.]

При атмосферном давлении необходим учет отрыва температур при расчете столба дуги в канале плазмотрона. Неучет этого фактора приводит к завышению плотности тока в столбе дуги, занижению потока тепла на стенку канала и искажению истинных профилей коэффициентов переноса по сечению дуги. Это может сказаться также и на распределении скорости газа по сечению дуги.

Для расчета отрыва температур T_e/T используется формула:

(11.1)

дополненная законом Дальтона:

p = (n_i + n_a)kT + n_ekT_e, (11.2)

соотношением для длины свободного пробега электрона:

(11.3)

условием квазинейтральности:

n_i = n_e (11.4)

и уравнением Саха:

(11.5)

Здесь M_г и m_e - массы атома газа и электрона, n_i, n_e, n_a - концентрации ионов, электронов и атомов соответственно, S_ea и S_ei - сечения взаимодействий электрона с атомом и ионом, E - напряженность электрического поля в столбе дуги, l - длина свободного пробега электрона, U_i - потенциал ионизации, p - давление газа, e - заряд электрона, k - константа Больцмана, g_i и g_a - статистические веса, A = 4.85 10²¹ м^-3/К^3/2. Все формулы записаны в системе СИ.

Решение нелинейной системы (11) проводится методом итераций. Для аргоновой плазмы принимается g_i = 6, g_a = 1, U_i = 15,85 В. Формула для сечения кулоновского взаимодействия береться из [3]: S_ei = 6.6 10^-10/T_e².

Таким образом, задаваясь напряженностью E можно найти отрыв температур T_e/T, зная который, по данным [1] можно определить транспортные и теплофизические свойства плазмы для данных T_e/T и T_e. В данном случае, задаваясь E, используя интерполяцию таблиц из [1] строились таблицы транспортных коэффициентов и термодинамических функций плазмы (включая тепловую функцию S) в зависимости от T_e, которые и подставлялись при расчетах в уравнения (4).

Конечно-разностное решение [4]

Система (4) решается методом установления, поэтому в правую часть (4.1) добавляется нестационарный член:

(12)

Вводится сетка:

Уравнение (12) аппроксимируется на сетке при помощи полностью неявной схемы со вторым порядком аппроксимации [5]:

(13)

Данное разностное уравнение приводится к каноническому виду:

(14.1)

Где , , ,

Аппроксимация граничных условий:

Граничное условие на оси со вторым порядком аппроксимации получается из условия (4.4) и уравнения (12), записанного при условии с учетом неопределенности , которая раскрывается по правилу Лопиталя [4]:

Тогда (12) на оси канала запишется так:

Это уравнение, а также условие (4.3) аппроксимируются при помощи полностью неявной схемы второго порядка:

Преобразуя данные уравнения, получаем:

(14.2)

Где,.

Условие у стенки:

(14.3)

Решение системы (14) относительно осуществляется методом прогонки. Поскольку граничное условие первого рода записано на правой границе, целесообразно использовать левую прогонку:

, , (15)

Соотношения для прогоночных коэффициентов:

, , , (16)

На нулевом временном слое задается некоторое начальное распределение:

( 17)

На каждой итерации по известному m (r_i) из (4.1) определяется поле скоростей:

(18)

Зная которое по (3.3), (3.4) численным интегрированием методом трапеций находится G и , т.е. правая часть (13). Решая (13) описанным выше методом, находим S(r_i). Процедура повторяется заданное число шагов.

После решения (14) т.е. определения , по формулам (5)-(10) определяются параметры разряда. В (5) (7) используется численное интегрирование методом трапеций, в (6) правая разность.

Литература

1. Жайнаков А., Лелевкин В.М., Мечев В.С, Семенов В.Ф., Урусов Р.М., “Электрическая дуга - генератор плотной низкотемпературной плазмы”, Бишкек, Илим, 1991
2. “Математическое моделирование электрической дуги”/Под. ред. Энгельшта В.С., Фрунзе, Илим, 1983
3. Грановский В.Л., “Электрический ток в газе (установившийся ток)”, Москва, Наука, 1971.
4. Белавин М.И, Васильев Н.Н, Зимин А.М., “Управление в термоядерных системах”, МГТУ, 1993
5. Самарский А.А., Гулин А.В., “Численные методы”, Москва, Наука, 1989

В начало