|
Матрица как математический объект возникает при решении конкретных вычислительных задач, и в первую очередь при решении систем линейных алгебраических уравнений и задач на собственные значения. Матрица в виде прямоугольной таблицы чисел очень схожа с массивом, однако прикладные задачи, которые порождают матрицы, определяют для них специальную совокупность допустимых операций, среди которых особое место занимает операция умножения. Для простейшего случая, когда умножается вектор-строка на вектор-столбец, такой операцией является операция скалярного произведения.
Матрицы широко используются при решении обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и уравнений в частных производных, решении оптимальных задач и т. п.
Алгебраические задачи, связанные с матрицами, объединяются в раздел математики, получивший название линейной алгебры, который включает такие базисные задачи, как обращение и псевдообращение матриц, спектральное и сингулярное разложение матриц.
В вычислительном плане раздел линейной алгебры поддержан пакетами прикладных программ LINPACK, EISPACK, разработанными в 60-70-е годы ведущими специалистами, к числу которых принадлежит и основатель фирмы The MathWorks, Inc. Моулер (C. Moler). Изначальное назначение системы MATLAB состояло именно в том, чтобы создать диалоговую среду для работы с пакетами программ линейной алгебры.
Несмотря на кажущуюся завершенность, этот раздел развивается и в настоящее время в направлении создания новых операций: для работы с парами матриц (приведение пары матриц к форме Шура, рекуррентное сингулярное разложение пары прямоугольных матриц), решения матричных полиномов и полиномиальных матричных уравнений.
Рассмотрим функции системы MATLAB, которые поддерживают работу с матрицами, в следующей последовательности: характеристики матриц, решение систем линейных уравнений, вычисление собственных значений и сингулярных чисел, вычисление функций от матриц, работа с алгебраическими полиномами.
Характеристики матриц
- COND - число обусловленности матрицы
- NORM - нормы векторов и матриц
- RCOND - оценка числа обусловленности матрицы
- RANK - ранг матрицы
- DET - определитель матрицы
- TRACE - след матрицы
- NULL - нуль-пространство (ядро) матрицы
- ORTH - ортонормальный базис матрицы
- SUBSPACE - угол между двумя подпространствами
- RREF - треугольная форма матрицы
Решение линейных уравнений
- \, / - решатели систем линейных уравнений
- CHOL - разложение Холецкого
- LU - LU-разложение
- INV - обращение матрицы
- PINV - псевдообращение матрицы по Муру-Пенроузу
- QR, QRDELETE, QRINSERT - QR-разложение
- PLANEROT - преобразование Гивенса
- NNLS - метод наименьших квадратов с ограничениями
- LSCOV - метод наименьших квадратов в присутствии шумов
Вычисление собственных значений и сингулярных чисел
- EIG, CDF2RDF - собственные значения и собственные векторы матрицы
- BALANCE - масштабирование матрицы
- HESS - приведение к форме Хессенберга
- SCHUR, RSF2CSF - приведение к форме Шура
- CPLXPAIR - сортировка комплексносопряженных пар
- QZ - прведение пары матриц к обобщенной форме Шура
- POLYEIG - вычисление собственных значений матричного полинома
- SVD - сингулярное разложение матрицы
Вычисление функций от матриц
Полиномы и операции над ними
- POLYVAL - вычисление полинома
- POLYVALM - вычисление матричного полинома
- CONV - умножение полиномов
- DECONV - деление полиномов
- POLYDER - вычисление производных
- ROOTS - вычисление корней полиномов
- POLY - вычисление характеристического полинома
- RESIDUE, RESI2 - разложение на простые дроби
  
|
