Архив разработки (19 кб, Mathcad)

Параметры схемы:

Напряжение источника питания:
Сопротивление нагрузки:
Сопротивление дросселя:
Сопротивление конденсатора:
Индуктивность дросселя:
Ёмкость конденсатора:

Сопротивление параллельного соединения сопротивления конденсатора и сопротивления нагрузки:

Расчет будем проводить в пространстве состояний. Переменными состояния являются ток дросселя и напряжение конденсатора. Выходом будет являться напряжение на нагрузке. Входом системы является напряжение первичного источника питания.

Математическая модель схемы в матричном виде описывается следующими выражениями:

,

где

X - вектор состояния системы;

Y - вектор выхода;

U - вектор входа.

При работе схемы можно выделить три её состояния.

Состояние 1. Ключ замкнут (начало периода работы).

Матрицы описывающие топологию схемы в 1 состоянии:

Состояние 2. Ключ разомкнут (ток дросселя не равен нулю).

Матрицы описывающие топологию схемы во 2 состоянии:

Состояние 3. Ключ разомкнут (ток дросселя равен нулю).

Матрицы описывающие топологию схемы в 3 состоянии:

Решение системы для 1 состояния:

Решение системы для 2 состояния:

Решение системы для 3 состояния:

Х(0) - вектор состояния системы в момент наступления данного состояния. Этот вектор определяется предыдущим состоянием системы.

Состояние 3 связано с режимом прерывистых токов. Это состояние схемы наступает при снижении тока дросселя до нуля.

Для работы данной схемы характерны три временных интервала: tи - длительность включенного состояния регулирующего элемента (РЭ) - накопление энергии в дросселе (состояние 1); tп - длительность выключенного состояния РЭ - уменьшение энергии в дросселе (состояние 2); Т-tи-tп - длительность отсечки тока в дросселе (состояние 3).

Таким образом можно записать:

для режима прерывистых токов;

и

для режима непрерывных токов.

В результате вектор состояния системы в конце n-го периода работы можно определить из соотношения:

для режима прерывистых токов:

для режима непрерывных токов:

Таким образом, поведение системы определяется начальными условиями на каждом периоде, длительностью импульса и длительностью паузы. Следовательно, нашу систему уравнений необходимо дополнить уравнениями, из которых можно определить длительность импульса и длительность паузы.

Для определения длительности импульса подходит уравнение замыкания системы. Оно имеет вид (для внешнего периодического сигнала пилообразной формы):

где g - вектор, связывающий выходы непрерывной части со входом РЭ

- амплитуда пилообразного сигнала.

Известное значение длительности импульса, позволяет определить длительность интервала паузы. В соотношении для решения во 2 состоянии схемы необходимо выделить строку, соответствующую току дросселя и приравнять её нулю:

где F = [1 0]. Из этого уравнения и находится .

Если принадлежит промежутку [0, T-] , то в данном периоде имеет место режим прерывистого тока. В противном случае имеем режим непрерывного тока и =Т-.

Таким образом, мы имеем всё необходимое для построения математической модели, которая будет имитировать работу понижающей схемы.

Аналитические решения для приведенные выше описываются с помощью фундаментальной матрицы . Для вычисления фундаментальной матрицы воспользуемся спектральным разложением матрицы А. При спектральном разложении матрицы определяют все её собственные значения и системы собственных векторов. Ниже приведен данный расчёт.

Из состояний схемы следует, что , и, следовательно эти матрицы будут иметь одинаковое спектральное разложение.

Собственные значения матриц А1 и А2:

Собственные значения матрицы А3:

Собственные правые векторы матриц А1 и А2:

Собственные правые векторы матрицы А3:

Собственные левые векторы матриц А1 и А2:

Собственные правые векторы матрицы А3:

Тогда решения для каждого состояния схемы примут вид:

вектор начальных условий для расчета схемы в состоянии 1:

выходное напряжение, когда схема находится в состоянии 1:

ток дросселя, когда схема находится в состоянии 1:

напряжение на конденсаторе, когда схема находится в состоянии 1:

начальные условия для расчета схемы в состоянии 2:

длительность импульса (например):

начальные условия в векторе :

выходное напряжение, когда схема находится в состоянии 2:

ток дросселя, когда схема находится в состоянии 2:

напряжение на конденсаторе, когда схема находится в состоянии 2:

начальные условия для расчета схемы в состоянии 3:

длительность паузы (например):

начальные условия в векторе :

выходное напряжение, когда схема находится в состоянии 3:

ток дросселя, когда схема находится в состоянии 3:

напряжение на конденсаторе, когда схема находится в состоянии 3:

Ниже приведена прогрмма расчета работы понижающей схемы. В модели организована обратная связь. Она определяется линейной комбинацией выходного напряжения схемы и тока дросселя.

Период ШИМ:
Коэффициент ОС по выходному напряжению:
Коэффициент ОС по току дросселя:
Амплитуда внешнего пилообразного сигнала:
Сигнал задания:
Количество рассчитываемых периодов работы:

Выходом программы является матрица М. В первом столбце этой матрицы находится выходное напряжение схемы, во втором столбце ток дросселя.

В начало