• Определение и ввод матрицы в рабочий документ Mathcad
• Нумерация элементов матриц и векторов
• Панель операций с матрицами и векторами
• Меню символьных операций с матрицами
• Функции, предназначенные для решения задач линейной алгебры

Определение и ввод матрицы в рабочий документ Mathcad

Чтобы определить матрицу нужно:

1. ввести с клавиатуры имя матрицы и знак присваивания (для ввода знака присваивания нужно нажать на клавиатуре комбинацию клавиш <Shift>+<:> или щелкнуть по кнопке<:=> панели Evaluation);
2. щелкнуть по кнопке Vector or Matrix Toolbar  в панели математических инструментов, чтобы открыть панель матричных операций Matrix);
3. открыть щелчком по кнопке Matrix or Vector окно диалога определения размерности матрицы и ввести размерность матрицы: число строк (Rows), число столбцов (Columns);
4. закрыть окно диалога, щелкнув по кнопке Ok.

В рабочем документе, справа от знака присваивания, открывается поле ввода матрицы с помеченными позициями для ввода элементов.
Для того, чтобы ввести элемент матрицы, установите курсор в помеченной позиции и введите с клавиатуры число или выражение.

Нумерация элементов матриц и векторов

Номер первой строки (столбца) матрицы или первой компоненты вектора, хранится в Mathcad в переменной ORIGIN.
По умолчанию в Mathcad координаты векторов, столбцы и строки матрицы нумеруются начиная с 0 (ORIGIN:=0). Поскольку в математической записи чаще используется нумерация с 1, удобно перед началом работы с матрицами  определять значение переменной ORIGIN равным 1, выполнять команду
ORIGIN:=1.

Панель операций с матрицами и векторами

Панель векторных и матричных операций открывается щелчком по кнопке Vector and Matrix Toolbar в панели математических инструментов.

За кнопками панели закреплены следующие функции:

— определение размеров матрицы;

— ввод нижнего индекса;

 — вычисление обратной матрицы;

— вычисление определителя матрицы: |A|=det A; вычисление длины вектора |x|;

 — поэлементные операции с матрицами:
если A={a_ij }, B={b_ij }, то ;

— определение столбца матрицы: — j -й столбец матрицы M;

— транспонирование матрицы: M={m_ij }, M ^T ={m_ji };

— вычисление скалярного произведения векторов: ;

 — вычисление векторного произведения векторов:
a x b = (a₂ b₃ -a₃ b₂ , a₃ b₁ -a₁ b₃ , a₁ b₂ -a₂ b₁ );

 — вычисление суммы компонент вектора: ;

— определение диапазона изменения переменной;

— визуализация цифровой информации, сохраненной в матрице.

Для того чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно выделить матрицу и щелкнуть в панели по кнопке операции, либо щелкнуть по кнопке в панели и ввести в помеченной позиции имя матрицы.

Меню символьных операций с матрицами

Меню символьных операций с матрицами (пункт Matrix меню Symbolics) содержит три функции:

• транспонирование (Transpose),
• обращение матрицы (Invert),
• вычисление определителя матрицы (Determinant).

Если требуется произвести какую-либо операцию через пункт Matrix меню Symbolics, нужно выделить матрицу и щелкнуть в меню по строке нужной операции.

Функции, предназначенные для решения задач линейной алгебры

Функции, предназначенные для решения задач линейной алгебры, можно разделить на три группы.

Функции определения матриц и операции с блоками матриц:

• matrix(m, n, f) — создает и заполняет матрицу размерности m x n, элемент которой, расположенный в i -й строке, j -м столбце, равен значению f(i, j) функции f(x, y);
• diag(v) — создает диагональную матрица, элементы главной диагонали которой хранятся в векторе v;
• identity(n) — создает единичную матрицу порядка n;
• augment(A, B) — формирует матрицу, в первых с т о л б ц а х которой содержится матрица A, а в последних — матрица B (матрицы A и B имеют одинаковое число строк);
• stack(A, B) — формирует матрицу, в первых с т р о к а х которой содержится матрица A, а в последних — матрица B (матрицы A и B имеют одинаковое число столбцов);
• submatrix(A, ir, jr, ic, jc) — формирует матрицу, которая является блоком матрицы A, расположенным в строках с ir по jr и в столбцах с ic по jc, ir <= jr, ic <= jc.

Пример 1. Примеры исполнения функций matrix, diag, identity, augment, stack, submatrix

Функции отыскания различных числовых характеристик матриц:

• last(v) — вычисление номера последнего элемента вектора v;
• lenght(v) — вычисление количества элементов v вектора;
• rows(A) — вычисление числа строк в матрице A;
• cols(A) — вычисление числа столбцов в матрице A;
• max(A) — вычисление наибольшего элемента в матрицы A;
• tr(A) — вычисление следа квадратной матрицы A ( след матрицы равен сумме ее диагональных элементов);
• rank(A) — вычисление ранга матрицы A;
• norm1(A), norm2(A), norme(A), normi(A) — вычисление норм квадратной матрицы A.

Пример 2. Примеры исполнения функций last, length, rows, cols, max, min, tr, rank, norm1, norm2, norm3

Функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры:

• rref(A) — приведение матрицы к ступенчатому виду с единичным базисным минором (выполняются элементарные операции со строками матрицы);
• eigenvals(A) — вычисление собственных значений квадратной матрицы А ;
• eigenvecs(A) — вычисление собственных векторов квадратной матрицы А; значением функции является матрица, столбцы которой есть собственные векторы матрицы А; порядок следования векторов отвечает порядку следования собственных значений, вычисленных функцией eigenvals(A);
• eigenvec(A, l) — вычисление собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению l;
• lsolve(A, b) — решение системы линейных алгебраических уравнений Ax=b.

Пример 3. Примеры исполнения функций eigenvals, eigenvecs, eigenvec, lsolve