• Функция odesolve
• Решение задачи Коши с помощью функции odesolve
• Решение граничной задачи с помощью функции odesolve
• Функции решения задачи Коши для нормальных систем
• Решение задачи Коши для ОДУ 1 порядка с помощью функции rkfixed
• Решение задачи Коши для ОДУ 2 порядка с помощью функции rkfixed
• Решение задачи Коши для системы ОДУ 1 порядка с помощью функции rkfixed
• Решение жесткой задачи Коши для системы ОДУ 1 порядка с помощью функции Stiffr
• Построение фазовой и интегральной кривых решения задачи Коши для системы ОДУ 1 порядка
• Построение векторного поля системы ОДУ

Для решения дифференциальных уравнений Mathcad предоставляет пользователю библиотеку встроенных функций Differential Equation Solving, предназначенных для численного решения дифференциальных уравнений.

ODESOLVE

Встроенная функция odesolve предназначена для решения дифференциальных уравнений, линейных относительно старшей производной. В отличие от других функций библиотеки Differential Equation Solving, odesolve решает дифференциальные уравнения, записанные в общепринятом в математической литературе виде.

• Функция odesolve решает для уравнений вида
  a(x) y(n) + F(x, y, y' , ..., y^(n-1) )=f(x)
  задачу Коши
  y(x₀ )=y₀ , y'(x₀ )=y_0,1 , y''(x₀ )=y_0,2 , ..., y^(n-1)(x₀ )=y_0,n-1
  или простейшую граничную задачу
  y^(k) (a)=y_a,k , y^(m) (b)=y_b,k , 0<= k<= n-1, 0<= m<= n-1.
• Функция odesolve решает поставленную задачу методом Рунге-Кутты с фиксированным шагом. Для решения задачи методом Рунге-Кутты с автоматическим выбором шага нужно щелкнуть в рабочем документе по имени функции правой кнопкой мыши и пометить во всплывающем меню пункт Adaptive. 
• Обращение к функции имеет вид
  Y:=odesolve(x,b,step) или Y:=odesolve(x,b),
  где Y - имя функции, содержащей значения найденного решения, x — переменная интегрирования, b — конец промежутка интегрирования, step — шаг, который используется при интегрировании уравнения методом Рунге-Кутты.
• Перед обращением к функции odesolve необходимо записать ключевое слово Given, затем ввести уравнение и начальные либо граничные условия. При вводе уравнения и условий задачи используется знак символьного равенства (<Ctrl>+<=>), а для записи производных можно использовать как оператор дифференцирования, так и знак производной, например, вторую производную можно вводить в виде   или в виде y''(x). При этом необходимо обязательно записывать аргумент искомой функции.
• Для того чтобы вывести в рабочий документ значения решения в любой точке промежутка интегрирования, достаточно ввести имя функции Y, указать в скобках значение аргумента и знак равенства.
• Значения решения в любой точке промежутка интегрирования можно использовать в дальнейших вычислениях, достаточно ввести в нужном месте имя функции Y, указав в скобках значение аргумента.

Полную информацию о правилах использования функции odesolve можно получить во встроенном справочнике Mathcad в разделе Overview fnd Tutorials.

Пример 1. Решение задачи Коши с помощью функции odesolve.

Пример 2. Решение граничной задачи с помощью функции odesolve.

Функции для решения систем, записанных в нормальной форме

Встроенные функции Mathcad, предназначенные для решения задачи Коши и граничных задач, решают их для нормальных с и с т е м обыкновенных дифференциальных уравнений. Задачи для уравнений высших порядков сводятся к соответствующим задачам для нормальных с и с т е м.

Рассмотрим задачу Коши:

Численное решение этой задачи состоит в построении таблицы приближенных значений
y_i,1 , y_i,2 , ..., y_i,N
решения y₁ (x), y₂ (x), ..., y_N (x)
на отрезке [x₀ , x_N ] в точках
x₁ , x₂ , ..., x_N, которые называются узлами сетки.
Обозначив

, ,

,

,

где — искомое решение, — вектор начальных условий, а — вектор правых частей, запишем систему дифференциальных уравнений в векторной форме:

, .

В Mathcad решить задачу Коши для такой системы можно с помощью следующих функций:

• rkfixed(y, x1, x2, npoints, D) —решение задачи на отрезке методом Рунге—Кутты с постоянным шагом;
• Rkadapt(y, x1, x2, npoints, D) —решение задачи на отрезке методом Рунге—Кутты с автоматическим выбором шага;
• rkadapt(y, x1, x2, acc, npoints, D, kmax, save) —решения задачи в заданной точке методом Рунге-Кутты с автоматическим выбором шага;
• Bulstoer(y, x1, x2, npoints, D) —решение задачи на отрезке методом Булирша-Штера;
• bulstoer(y, x1, x2, acc, npoints, D, kmax, save) —решение задачи в заданной точке методом Булирша—Штера;
• Stiffr(y, x1, x2, acc, D, J) — решение задачи для жестких систем на отрезке с использованием алгоритма Розенброка;
• stiffr(y, x1, x2, acc, D, J, kmax, save) —решения задач для жестких систем на отрезке с использованием алгоритма Розенброка;
• Stiffb(y, x1, x2, acc, D, J) —решение задачи для жестких систем на отрезке с использованием алгоритма Булирша—Штера;
• stiffb(y, x1, x2, acc, D, J, kmax, save) —решение задач для жестких систем в заданной точке с использованием алгоритма Булирша—Штера.

Смысл параметров для всех функций одинаков и определяется математической постановкой задачи:
y — вектор начальных условий , ;
x1, x2 — начальная и конечная точки отрезка интегрирования системы; для функций, вычисляющих решение в заданной точке, x1 — начальная точка, x2 — заданная точка;
npoints — число узлов на отрезке [x1, x]; при решении задачи на отрезке результат содержит npoints+1 строку;
D — имя вектор-функции D(x,y) правых частей , ; ( имя D – от Derivative — производная, имя вектора, содержащего выражения для производных (derivatives) искомого решения);
J — имя матрицы-функции J(x,y) размерности n x (n+1), в первом столбце которой хранятся выражения частных производных по x правых частей системы, а в остальных n столбцах содержится матрица Якоби правых частей:
.
acc — параметр, контролирующий погрешность решения при автоматическом выборе шага интегрирования (если погрешность решения больше acc, то шаг сетки уменьшается; шаг уменьшается до тех пор, пока его значение не станет меньше save );
kmax — максимальное число узлов сетки, в которых может быть вычислено решение задачи на отрезке, максимальное число строк в результате;
save — наименьшее допустимое значение шага неравномерной сетки.

Результат работы функции — матрица, содержащая n+1; ее первый столбец содержит координаты узлов сетки, второй столбец — вычисленные приближенные значения решения y₁ (x) в узлах сетки, (k+1) -й — значения решенияy_k (x) в узлах сетки.

При решении задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка результат вычислений всех приведенных выше функций — матрица, в первом столбце которой содержатся координаты узлов сетки x₀ , x₁ , ..., x_N, а во втором — значения приближенного решения в соответствующих узлах.

Пример 3. Решение задачи Коши для ОДУ 1 порядка с помощью функции rkfixed.

Пример 4. Решение задачи Коши для ОДУ 2 порядка с помощью функции rkfixed.

Пример 5. Решение задачи Коши для системы ОДУ 1 порядка с помощью функции rkfixed.

Пример 6. Решение жесткой задачи Коши для системы ОДУ 1 порядка с помощью функции Stiffr.

При исследовании автономных систем дифференциальных уравнений второго порядка полезную информацию можно получить рассматривая интегральные и фазовые кривые системы.

Пример 7. Построение фазовой и интегральной кривых решения задачи Коши для системы ОДУ 1 порядка.

При исследовании автономных систем дифференциальных уравнений второго порядка полезную информацию о свойствах решений можно получить, построив векторное поле системы.

Запишем автономную систему второго порядка

.

Эта система полностью определяется заданием векторного поля , поскольку векторное поле задает в каждой точке направление касательной к фазовой кривой системы, проходящей через эту точку.

Пример 8. Построение векторного поля системы ОДУ.