Вернуться на страницу <Методические разработки>

Архив разработки (18 Кб, Mathematica, Word)

Теоретическое введение

Преобразование Лапласа [1, 2] ставит в соответствие функции действительного переменного f (t) функцию комплексного переменного F(p), определенную соотношением

.

Естественно, рассматриваются такие функции, для которых указанный интеграл существует.

Функция F(p) называется изображением Лапласа функции f (t), а функция f (t) – оригиналом функции F(p). Символически будем изображать это следующим образом:

f (t) ¸ F(p), F(p) ¸ f (t) .

Для выполнения преобразования Лапласа в символьном виде в системе Mathematica имеется опция LaplaceTransform[f[t],t,p], где f[t] – оригинал переменного t, p - переменная Лапласа. Для того чтобы выполнить обратное преобразование Лапласа (т.е. найти оригиналы функций), нужно использовать опцию InverceLaplaceTransform[F[p],p,t], где F[p] – изображение Лапласа переменного s, t – переменная оригинала. В файле Laplace показаны результаты выполнения преобразования Лапласа для функции с последующим обратным преобразованием Лапласа.

Важным для практических приложений является следующее свойство изображения: при дифференцировании оригинала, если его изображение и изображения соответствующих производных существуют, справедливо соотношение

¸ . (1)

Строго говоря, все изображения, о которых говорится здесь и далее, существуют в области, где оригинал растет не быстрее некоторой экспоненты [1]. Мы не будем каждый раз оговаривать это условие, считая, что мы рассматриваем только те области, где оно выполняется.

Решение задачи Коши, использующее свойство (1), также показано в файле Laplace. Соответствующая задача имеет вид:

При решении задачи использована опция символьного решения алгебраических уравнений RSolve[eqn,y[x],x]. Здесь eqn – исходное уравнение относительно функции y[x] переменной x. Чтобы привести полученное выражение к более удобному виду используется опция FullSimplify[expr], где expr – выражение, которое следует привести к более простому виду.

В качестве примера рассмотрим также решение задачи о вертикальном движении материальной точки под действием силы тяжести с учетом силы сопротивления воздуха. Пусть частица брошена вертикально вверх со скоростью v₀ . На нее действуют сила тяжести и сила сопротивления 2kmv. Найдем расстояние частицы от точки бросания в момент времени t.

Согласно II закону Ньютона уравнение движения частицы имеет вид:

Здесь Y(t) – расстояние частицы от точки бросания в момент времени t; m – масса частицы. Решение задачи также можно найти в файле Laplace.

Для функции двух переменных (x, t), используя преобразование Лапласа по переменной t, имеем [1]:

u(x, t) ¸ U(x, p), (2)

u_tt(x, t) ¸ p²U(x, p) – j (x), (3)

u_xx(x, t) ¸ U_xx(x, p). (4)

Здесь j (х) = и(х,0).

Указанное свойство позволяет, например, заменить решение дифференциального уравнения в частных производных решением обыкновенного дифференциального уравнения. В файле Laplace показано решение следующей задачи. Концы струны x = 0 и x = L закреплены жестко. Начальное отклонение задано равенством . Начальные скорости равны нулю. Найти отклонения u(x,t) при t > 0.

Соответствующая задача математической физики, включающая гиперболическое уравнение, начальные и краевые условия, имеет вид:

Задание

С помощью символьного преобразования Лапласа найти решение следующих задач:

1. x¢ ¢ ¢ + 2x¢ ¢ = cos(t), x(0) = -2, x¢ (0) = x¢ ¢ (0) = 0 .

2. Лодке сообщена начальная скорость v₀ = 6 м/с. Через 69 с после начала движения эта скорость уменьшилась вдвое. Найти закон движения лодки, если сила сопротивления воды прямо пропорциональна скорости лодки.

3. Однородная струна, закрепленная на концах х = 0 и x = l , имеет в начальный момент форму параболы, симметричной относительно перпендикуляра, проведенного через точку x = l/2. Определить смещение точек струны от прямолинейного положения равновесия, предполагая, что начальные скорости отсутствуют.

Литература.

1. А.Г.Свешников, А.Н.Тихонов. Теория функций комплексной переменной. Изд-е 3-е. М.: Наука. Физматлит, 1974. –320с.
2. М.Л.Краснов, А.И.Киселев, Г.И.Макаренко. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука. Физматлит, 1971. –256с.

В начало

Вернуться на страницу <Методические разработки>