Вернуться на страницу <Методические разработки>

Архив разработки (36 Кб, Mathcad, Word)

Цель работы: научиться решать численно уравнения в частных производных гиперболического типа в MathCad.

Гиперболические уравнения возникают при изучении различных колебательных процессов. Типичным примером гиперболического уравнения является уравнение колебаний струны с закрепленными концами. Такая задача имеет вид:

u_tt = c² u_xx для 0< x< l, 0< t< t_max, (1)

с граничными условиями

u(0, t) = u(l, t) = 0 для 0< t< t_max (2)

и начальными условиями

u(x, 0) = f (x) для 0< x < l, (3’)

u_t(x, 0) = g (x) для 0< x< l. (3’’)

Условие (3’) описывает начальную форму струны, условие (3’’) - исходное распределение скоростей. Функция g(x, t) описывает внешнюю нагрузку, действующую на струну во время колебательного процесса.

Рассмотрим численное решение уравнения (1) методом конечных разностей [1], хотя при применении этого метода могут возникнуть проблемы с устойчивостью используемой разностной схемы. Зададим число точек разбиения n для отрезка [0; l] и m для отрезка [0; t_max]. Тогда длины отрезков разбиения равны (x = l /(n-1) и ( = t_max/(m-1). Вторые производные в уравнении (1) аппроксимируем по формуле центрированной разности

(4')

и

(4’’)

Подставляя полученные выражения в уравнение (1), получим разностное уравнение

Обозначив r=ct /h, приводим это уравнение к виду

u_i,j+1 = (2-2r²)u_i,j + r²(u_i+1,j + u_i-1,j) - u_j,j-1 , i = 2, 3, …, n-1. (5)

Вычислительная схема (5) устойчива при выполнении условия r1. Существуют неявные схемы, более сложные, но устойчивые при любых значениях r [2].

Чтобы проводить расчет по уравнению (5), необходимо знать два начальных ряда, соответствующих t= 0 и t= t . Ряд, соответствующий начальному моменту, задается с использованием функции u(x,0) = f (x). Ряд для t= t задается с использованием функции u_t(x,0) = g(x) по формуле

U_i,2 = s₁ f_i-1 + t g_i-1 + r₂₂(f_i + f_i-1) . (6)

Здесь s₁=1-r², r₂₂= r²/2 . Формула (6) следует из разложения функции u(x,t) в ряд Тейлора с точностью до квадратичного члена в точке t = t . Вторая производная аппроксимируется по формуле (4’). После вычисления первых двух рядов значения функции u(x,t) вычисляются по формуле (5).

В файле hyperbolic приведен пример решения задачи

u_tt = u_xx ,

u(x,0) = 0,

u_t(x,0) = x(x-1) .

Также проведено сравнение полученного решения с точным теоретическим решением

.

Литература.

Задание для самостоятельной работы.

Решить численно задачу (1) - (3) на единичном отрезке со следующими данными:

2. f (x) = (1/15)sin(11p x/2)cos(4p x/2), g(x) = 0.

   Аналитическое решение:

   u(x,t) = (1/30) [cos(7p t/2)sin(7p x/2) + cos(15p t/2)sin(15p x/2)] .

    

3. f (x) = (1/8)sin(3p x), g(x) = 0.

   Аналитическое решение:

   u(x,t) = (1/8) cos(3p t)sin(3p x) .

4. f (x) = 0, g(x) = (1/3)sin(5p x).

   Аналитическое решение:

   u(x,t) = (1/(15p )) sin(5p t)cos(5p x) .

    

5. f (x) = 0, .

   Аналитическое решение:

   .

    

    

6. f (x) = 0,

Сравнить с аналитическим решением. Ряды аппроксимировать конечной суммой.

Определить максимальное значение шага, при котором вычислительная схема устойчива. Убедиться в неустойчивости схемы при задании шага больше максимального.

В начало

Вернуться на страницу <Методические разработки>