Вернуться на страницу <Методические разработки>
Архив разработки (159 Кб, Mathcad-документ)

Содержание

• Постановка задачи
• Обзор методов численного решения
• Метод релаксаций
• Решение уравнения Пуассона
• Решение уравнения Лапласа

• Литература

Постановка задачи

Рассмотрим две типичных электростатических задачи [1]:

1) Найти потенциал электрического поля при неизвестном местоположении исходных зарядов, но заданном электрическом потенциале на границах области. (Например, задача о распределении потенциала электрического поля, создаваемого системой неподвижных проводников, помещенных в вакуум и подключенных к батареям. Здесь можно измерить потенциал каждого проводника, но задать распределение электрических зарядов на проводниках, зависящее от их формы, весьма сложно.)

2) Найти потенциал электрического поля, создаваемого заданным распределением в пространстве электрических зарядов .

Хорошо известно, что прямой метод вычисления потенциала электрического поля в этих задачах состоит в решении уравнения Лапласа (задача 1)

(1)

и уравнения Пуассона (задача 2)

. (2)

Уравнения (1), (2) относится к классу дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа.

Далее мы будем рассматривать только частный случай эллиптических уравнений для поля j , зависящего от двух пространственных переменных. Совершенно очевидно, что для полного решения задачи уравнения (1), (2) необходимо дополнить граничными условиями. Различают три типа граничных условий:

1) граничные условия Дирихле (значения j задаются на некоторой замкнутой кривой в плоскости (х,у) и, возможно, на некоторых дополнительных кривых, расположенных внутри области (рис. 1));

2) граничные условия Неймана (на границе задается нормальная производная потенциала j );

3) смешанная краевая задача (на границе задается линейная комбинация потенциала j и его нормальной производной).

Рис.1

Литература

1. Кунин С. Вычислительная физика. М.: Мир, 1992.
2. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.:Изд-во Моск. физ.-техн. ин-та, 1994.
3. Поршнев С.В. Методика использования пакета Mathcad для решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений// Вычислительные методы и программирование. 2001. Т. 2. Раздел 3. С. 16.// Интернет журнал: http://num-meth.srcc.msu.su
4. Поршнев С.В. Методика использования пакета Mathcad для изучения итерационных методов решения краевых задач для двумерных эллиптических уравнений// Вычислительные методы и программирование. 2001. Т. 2. Раздел 3. С. 714.// Интернет журнал: http://num-meth.srcc.msu.su

В начало

Вернуться на страницу <Методические разработки>