Вернуться на страницу <Методические разработки>
Архив разработки (19 Кб, Mathcad-документ)

Любая двухатомная молекула (например, ) состоит из двух ядер, связанных электронами, вращающимися вокруг них. Так как ядра во много раз тяжелее электронов, мы можем считать, что последние движутся столь быстро, что в каждый момент времени происходит мгновенная подстройка их распределения к к изменяющемуся положению ядер (приближение Борна-Оппенгеймера). Поэтому исходная задача сводится к задаче о движении двух ядер в потенциальном поле, зависящем лишь от расстояния между ними. Из самых общих соображений можно сказать, что этот потенциал должен быть притягивающим на больших расстояниях (силы Ван-дер-Вальса) и отталкивающим на близких расстояниях (кулоновское взаимодействие ядер и отталкивание электронов, обусловленное принципом запрета Паули. Такое поведение поля обычно описывается потенциалом Ленард-Джонсона:

Форма потенциала приведена на рисунке ниже. Минимум потенциала, равный , соответсвует расстоянию =

- задание функции
- задание дискретной переменной

Вид потенциала

Большая масса ядер позволяет провести дальнейшее задачи путем разделения медленного вращения ядер и более быстрого изменения их взаимного расстояния. Первый тип движения хорошо описывается как квановомеханическое вращение жесткой системы типа "гантель". А колебательное движение описывается уравнением Шредингера. Однако, имея в в виду очень большую массу ядер, можно считать что движение их близко к классическому. Поэтому приближенные занчения энергии колебаний можно найти, решив классическую задачу о движении ядер в потенциальном поле V(r) и использовав затем правила квантования Бора-Зоммерфельда для определения уровней энергии .

Классическое ограниченное движение в потенциале V(r), описывающее изменение межъядерного расстояния, возможно в диапазоне энергий . Это изменение расстояния имеет характер периодических, но необязательно гармонических осцилляций между внутренними и внешними точками поворота с координатами и . Во время этих колебаний энергия энергия системы перераспределяется между кинетической и потенциальной энергией. Однако общая энергия, равная сумме кинетической и потенциальных энергий, остается постоянной, поэтому движение системы можно рассматривать как движение по некоторой замкнутой траектории в фазовом пространстве с координатами p,r. В каждой точке траектории выполняется условие

.        (1)

В явной форме уравнение траектории можно получить, решив уравнение (1) относительно p,

.           (2)

Классическое движение, рассмотренное выше, возможно при любом уровне энергии между и 0. Для того, чтобы проквантовать это движение и найти приближенные значения собственных чисел введем безразмерную величину, называемую действием. В одномерном случае оно определяется интегралом

.                   (3)

(Здесь h - постоянная Планка.) Правилами квантования установлено, что разрешены лишь такие значения энергии , которым соответствует действие, равное , где n - целое число. Множитель 2 перед интегралом в (3) учитывает тот факт, что каждая точка во время одного цикла колебания проходится дважды (один раз с положительным значением p, а другой раз с отрицательным.

После введения безразмерных переменных , , уравнение (3) приобретает вид

=.                  (4)

где .

Безразмерная переменная g служит мерой квантового характера движения для данной задачи.

Таким образом решение данной задачи разбивается на следующие этапы:

1. Вычисление зависимости .
2. Вычисление энергетического спектра.
3. Построение графика потенциала и энергетического спектра.
4. Построение траектории на фазовой плоскости.
5. Решение задачи методом уравнений Гамильтона.

1. Вычисление зависимости .

- задание переменной, соответсвующей минимуму потенциала.
- задание переменной .
- задание переменной, определяющей точнность решения нелинейного уравнения.
- задание переменной, используемой при задании начального приближения.

Вычисление зависимости .

2. Вычисление энергетического спектра и коодинат точек поворота, соответствующих значениям энергитического спектра.

3. Построение энергетического спектра.

- выделение нулевого столбца матрицы Е1 в вектор столбец Tmp.

Функция, возвращающая матрицу, содержащую значения потенциала Ленорда-Джонсона и значения энергии спектра

4. Построение траектории на фазовой плоскости.

- определение импульса.


- Задание номера энергетического уровня для построения траектории движения на фазовой плоскости.
- вычисление координат.

вычисление импульсов

    задание массивов для проведения вертикальных линий в точках остановки

Построение потенциала, траектории движения и маркировка точек остановки.

5. Решение системы уравнений Гамильтона

x'=p(x)
p'=
с начальными условиями x(o)=, p(o)=0
- Задание номера уровня, для которого решается система уравнений.
  -  определение коэффициента в безразмерных уравнениях движения.
-  задание вектора начальных условий.

	<=x(0)
	<=x'(0)

- задание вектор-функции, возвращающей первые производные.
- решение системы дифференциальных уравнений.

Зависимость координаты от времени

Траектория в фазовом пространстве

Вернуться на страницу <Методические разработки>